Countingsort

Sortierverfahren

Countingsort (von englisch count „zählen“) ist ein stabiles Sortierverfahren, das eine gegebene Folge von Elementen mit linearem Zeitaufwand (Problemkomplexität ) sortiert, wenn deren Sortierschlüssel natürliche Zahlen aus einem beschränkten Intervall mit möglichen Werten sind (oder sich darauf abbilden lassen). Der Algorithmus arbeitet nicht vergleichsbasiert, sondern zählt die Vorkommnisse der Schlüsselwerte – er arbeitet dann adressbasiert. Im Vergleich zum vergleichenden Sortieren mit der bestmöglichen Komplexität ergibt sich ein Vorteil, wenn die Intervalllänge sehr klein gegenüber der Anzahl der zu sortierenden Elemente ist.

Gut geeignetes Beispiel: Sortieren aller Einwohner Bayerns (n = 12,85 Mio.) nach ihrem Alter (in vollendeten Jahren: k = 0..150).

Schlechtes/nicht umsetzbares Beispiel: Sortieren der Schüler einer Grundschule (n = 300) nach ihrem Nachnamen (Zeichenkette mit max. Länge 40 aus allen möglichen Buchstaben, Umlauten und Sonderzeichen; k ≈ 3540).

AlgorithmusBearbeiten

Countingsort setzt voraus, dass die zu sortierenden Schlüsselwerte der Eingabe in einem beschränkten Intervall   liegen (oder sich einfach darauf abbilden lassen). Der Algorithmus zählt, wie oft jeder dieser Werte in der Eingabe vorkommt. Diese Anzahlen speichert er in einem zusätzlichen Array mit   Feldern ab. Mit Hilfe dieses Arrays wird anschließend für jeden Schlüsselwert die Zielposition in der Ausgabe berechnet.

Eingabe: Array   mit   für alle   und die rechte Intervallgrenze  .

Ausgabe: Feld   mit Inhalt von   in sortierter Reihenfolge.

Zusätzlicher Speicher: Während der Sortierung benötigt der Algorithmus ein Hilfs-Array  .

Angabe des Algorithmus in Pseudocode:

countingsort(A,k)
{
  C = array(0,k-1)

  // Initialisiere das Array C mit Nullen
  for (m=0; m<k; m++)
    C[m] = 0
  // end for

  // Schreibe in C[m], wie häufig der Wert m in A vorkommt
  for (j=1; j<=A.size; j++)
    C[key(A[j])] += 1
  // end for

  // Adressrechnung
  for (m=1; m<k; m++)
    C[m] += C[m-1]
  // end for

  B = array(1, A.size)

  // Kopiere auf jeweilige Zieladresse in B (mit Dekrementierung)
  for (j=A.size; j>0; j--) {
    B[ C[ key(A[j]) ] ] = A[j]
    C[key(A[j])] -= 1
  }

  return B
}

Die Funktion key gibt den Sortierschlüssel des Array-Elements der Eingabe zurück. Wenn ein Array-Element nur aus dem Sortierschlüssel besteht und keine weitere Komponenten enthält, dann ist  .
In der ersten for-Schleife wird das Hilfs-Array   initialisiert.
Die zweite for-Schleife iteriert über die Eingabe und inkrementiert für jeden Sortierschlüssel das zugeordnete Array-Element  .   enthält somit die Anzahl, wie oft der Schlüsselwert   in   vorkommt.
In der dritten for-Schleife werden die Zähler in   akkumuliert, so dass nach dem Ende der Schleife   die letzte Position für ein Element mit Schlüsselwert   im Ausgabe-Array bezeichnet. Somit enthält   jetzt nicht mehr „Anzahl der ‚m-Elemente‘ in A“, sondern die „Adresse des ‚m-Abschnitts‘ für B“ (allerdings die Endadresse, nicht die Startadresse).
Die letzte for-Schleife durchläuft die Eingabe von rechts nach links (aufgrund der Endadressen in  ), und sortiert den jeweiligen Eintrag dabei ein: Ist die Schleife in Iteration  , so hat   den Schlüsselwert   (=  ). Dieser muss also einsortiert werden an Adresse  . Anschließend wird die Zieladresse   dekrementiert, damit das nächste Element in  , welches den Schlüssel   besitzt, eine Position weiter vorne einsortiert wird.
Durch die sprungfreie Iteration wird die relative Reihenfolge von mehreren Elementen der Eingabe mit dem gleichen Sortierschlüssel auch in der Ausgabe nicht verändert, d. h. Countingsort sortiert stabil.

Vereinfachter AlgorithmusBearbeiten

Wenn die Eingabe ein einfaches Zahlen-Array ist, dann kann Countingsort ohne eine Akkumulationsphase dargestellt werden:

countingsort(A, k)
{
  C = array(0, (k-1))
  for (m=0; m<k; m=m+1)
    C[m] = 0
  // end for

  for (j=1; j<=A.size; j=j+1)
    C[A[j]] = C[A[j]] + 1
  // end for

  i=0
  B = array(1, A.size)
  for (m=0; m<k; m=m+1) {
    while (C[m]>0) {
      B[i] = m
      C[m] = C[m]-1
      i = i+1
    }
  }

  return B
}

Hierbei wird ausgenutzt, dass es dann nicht notwendig ist, die Inhalte von A nach B zu kopieren – es genügt, die  -Abschnitte von B mit so vielen  -Ganzzahlen zu füllen, wie im jeweiligen   vermerkt ist.

FunktionsbeispielBearbeiten

Ausführung von Countingsort auf ein Eingabefeld   mit Elementen aus   mit Hilfsfeld   und sortierter Ausgabe in Feld  .

1 2 3 4 5 6 7 8
2 5 3 0 2 3 0 3
0 1 2 3 4 5
0 0 0 0 0 0
1 2 3 4 5 6 7 8

Darstellung untereinander: Ausgangsarray  , Hilfsarray  , dessen Länge vom Definitionsbereich des Arrays abhängt. In das unterste Array werden die Elemente sortiert eingefügt.
Die obige Abbildung stellt die gegebene Zahlenfolge dar, wobei die erste Schleife des Algorithmus bereits abgearbeitet wurde, indem lediglich das Array   mit 0 initialisiert wird. Die zweite Schleife inkrementiert für jede Ziffer deren Stelle im Array um eins.

1 2 3 4 5 6 7 8
2 5 3 0 2 3 0 3
0 1 2 3 4 5
2 0 2 3 0 1
1 2 3 4 5 6 7 8

Die dritte Schleife summiert das Array   auf, so dass dessen Inhalt angibt, bis zu welcher Position ein Wert in dem sortierten Array auftaucht. Zwei gleiche aufeinanderfolgende Zahlen bedeuten dabei, dass die letzte der beiden Zahlen in der Folge überhaupt nicht auftaucht, also vorher in   an dieser Position ein 0 gewesen war. In Array   stehen nun also statt der Anzahlen, wie oft ein Wert im Array A enthalten ist, stattdessen Endadressen (bzw. End-Indizes):

  • Der letzte Wert '5' aus Array A muss an Index 8 in das Zielarray B;
  • der Wert '4' kam in Array A nicht vor und hat daher dieselbe Endadresse wie der Wert '3';
  • die letzte '3' aus Array A muss an Index 7 in das Zielarray B – anschließend wird die Zieladresse C['3'] um 1 heruntergezählt, so dass die nächste '3' aus Array A den Zielindex 6 erhält und somit nach B[6] kopiert wird;
  • die letzte '2' aus Array A muss an Index 4 (also B[4]), weitere '2'er aus A müssen vor Index 4;
  • '1' kommt in A nicht vor, daher hat es dieselbe „letzte Zieladresse“ wie der Wert '0';
  • die letzte '0' aus Array A hat die Zieladresse C['0'], also 2. Sobald sie in das Array B einsortiert wurde (also nach B[2]), muss C['0'] um 1 heruntergezählt werden, damit die nächste '0', die in Array A gefunden wird, nach Index C['0']=1, also in das Feld B[1] kopiert wird.
1 2 3 4 5 6 7 8
2 5 3 0 2 3 0 3
0 1 2 3 4 5
2 2 4 7 7 8
1 2 3 4 5 6 7 8

In der letzten Schleife werden sukzessive die Werte aus   in das Array   übertragen und zwar genau an der Stelle im Zielarray, die das Hilfsarray   für die entsprechende Zahl angibt. Vor der Schleife ist dies immer die letzte Stelle, an der die Zahl auftauchen wird. Nach dem Übertragen jeder Zahl wird zusätzlich der Wert in   dekrementiert. Die nächste gleiche Zahl wird deswegen eine Stelle weiter vorne im Zielarray eingefügt. Nachfolgend die 8 Schritte.

8. Schritt

1 2 3 4 5 6 7 8
2 5 3 0 2 3 0 3
0 1 2 3 4 5
0 2 2 4 7 7
1 2 3 4 5 6 7 8
0 0 2 2 3 3 3 5

KomplexitätBearbeiten

LaufzeitanalyseBearbeiten

Die Laufzeit der Funktion hängt von   (Anzahl der Elemente des Eingabearrays) und   (die Größe des Zahlenintervalls) ab. Die for-Schleifen werden jeweils  -mal oder  -mal durchlaufen. Die Zeitkomplexität von Countingsort beträgt somit  .

SpeicherplatzbedarfBearbeiten

Zusätzlich zur Ein- und Ausgabe, die jeweils   Speicherfelder benötigen (out-of-place), wird noch ein temporäres Array zur Speicherung der Häufigkeiten der Zahlenwerte angelegt. Dieses benötigt   Elemente Speicherplatz. Die Platzkomplexität von Countingsort liegt also in  .

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten

Wikibooks: Countingsort – Implementierungen in der Algorithmensammlung