Cevasche Strecken

Die Cevaschen Strecken sind benannt nach dem italienischen Mathematiker Giovanni Ceva. Sie schneiden sich in einem Punkt im Innern eines Dreiecks und verbinden jeden seiner Eckpunkte mit einem Punkt der jeweils gegenüberliegenden Dreiecksseite.

Cevasche Strecken (rot, grün, blau)

Definition

Es sei $S$ ein beliebiger Punkt im Innern eines Dreiecks $ABC$. Die Geraden durch $A$ und $S$ bzw. $B$ und $S$ bzw. $C$ und $S$ schneiden die jeweils gegenüberliegenden Dreiecksseiten in den Punkten $A'$ bzw. $B'$ bzw. $C'$.

Dann heißen $AA'$, $BB'$ und $CC'$ Cevasche Strecken.

Beziehung von Streckenabschnitten zur längsten Dreiecksseite

Planfigur zu Satz 1

Abschnitte der Cevaschen Strecken (rot) und längste Dreiecksseite (blau)

Satz 1

Ist $AB$ die längste Seite eines Dreiecks, so ist die Gesamtlänge der von $S$ ausgehenden und zu einem Punkt der jeweils gegenüberliegenden Dreiecksseite führenden Streckenabschnitte der drei Cevaschen Strecken stets kleiner als die Länge der Dreiecksseite $AB$.

${\overline {SA'}}+{\overline {SB'}}+{\overline {SC'}}<{\overline {AB}}$

Beweis

Die längste Dreiecksseite $AB$ ist offenbar länger als jede der drei Cevaschen Strecken $AA'$, $BB'$ und $CC'$.

Die Strecken $SD$ bzw. $SE$ seien parallel zu den Dreiecksseiten $AC$, bzw. $BC$. Dann sind die Dreiecke $DES$ und $ABC$ ähnlich zueinander, da sie nach dem Satz über Winkel an parallelen Geraden in zwei Innenwinkeln übereinstimmen. Aus dieser Ähnlichkeit folgt, dass $DE$ die längste Seite des Dreiecks $DES$ ist, da $AB$ die längste Seite des Dreiecks $ABC$ ist.

Damit gilt auch ${\overline {SC'}}<{\overline {DE}}$. (1)

Die Strecken $DG$ bzw. $EF$ seien parallel zu den Strecken $BB'$ bzw. $AA'$. Dann sind die Dreiecke $ADG$ und $ABB'$ ähnlich zueinander, da sie nach dem Satz über Winkel an Parallelen in zwei Winkeln übereinstimmen. Aus dieser Ähnlichkeit folgt, dass $AD$ die längste Seite des Dreiecks $ADG$ ist, da $AB$ die längste Seite des Dreiecks $ABB'$ ist.

Damit gilt auch ${\overline {DG}}={\overline {SB'}}<{\overline {AD}}$. (2)

Analog lässt sich zeigen:

${\overline {EF}}={\overline {SA'}}<{\overline {EB}}$. (3)

Durch Addition auf den jeweils beiden Seiten der drei Ungleichungen (1), (2) und (3) erhält man: ${\overline {SA'}}+{\overline {SB'}}+{\overline {SC'}}<{\overline {EB}}+{\overline {AD}}+{\overline {DE}}={\overline {AB}}$.

Beziehung zwischen Streckenabschnitten und Cevascher Strecke

Planfigur zu Satz 2

Abschnitte der Cevaschen Strecken (rot) und Cevasche Strecke CC' (blau)

Satz 2

Ist von den drei Cevaschen Strecken $AA'$, $BB'$ und $CC'$ die Strecke $CC'$

• die kürzeste, so gilt: ${\overline {SA'}}+{\overline {SB'}}+{\overline {SC'}}>{\overline {CC'}}$,
• die längste, so gilt: ${\overline {SA'}}+{\overline {SB'}}+{\overline {SC'}}<{\overline {CC'}}$.

Sind alle drei Cevaschen Strecken $AA'$, $BB'$ und $CC'$ gleich lang, so gilt: ${\overline {SA'}}+{\overline {SB'}}+{\overline {SC'}}={\overline {CC'}}$

Beweis

Im Folgenden seien

$x={\frac {\overline {SC'}}{\overline {CC'}}}$, $y={\frac {\overline {SA'}}{\overline {AA'}}}$ und $z={\frac {\overline {SB'}}{\overline {BB'}}}$, wobei $CC'$ die kürzeste Cevasche Strecke sei.

Nach Umformung gilt dann:

${\overline {SC'}}=x\cdot {\overline {CC'}}$, ${\overline {SA'}}=y\cdot {\overline {AA'}}$ und ${\overline {SB'}}=z\cdot {\overline {BB'}}$. (4)

Die Strecken $SH$ bzw. $CK$ seien die Lote von $S$ auf $AB$ bzw. von $C$ auf $AB$.

Damit sind die Dreiecke $C'HS$ und $C'KC$ ähnlich zueinander und es gilt nach dem Strahlensatz: ${\frac {\overline {SH}}{\overline {CK}}}=x$.

Hieraus folgt für die Flächeninhalte:

${\frac {F_{ABS}}{F_{ABC}}}={\frac {{\frac {1}{2}}\cdot {\overline {AB}}\cdot {\overline {SH}}}{{\frac {1}{2}}\cdot {\overline {AB}}\cdot {\overline {CK}}}}={\frac {\overline {SH}}{\overline {CK}}}=x$, also: $F_{ABS}=x\cdot F_{ABC}$. (5)

In analoger Weise lässt sich zeigen: $F_{BCS}=y\cdot F_{ABC}$ (6) und $F_{CAS}=z\cdot F_{ABC}$. (7)

Aus (4), (5), (6) und (7) ergibt sich:

$F_{ABC}=F_{ABS}+F_{BCS}+F_{CAS}=(x+y+z)\cdot F_{ABC}$, also $x+y+z=1$.

${\overline {SA'}}+{\overline {SB'}}+{\overline {SC'}}={\overline {CC'}}=y\cdot {\overline {AA'}}+z\cdot {\overline {BB'}}+x\cdot {\overline {CC'}}>y\cdot {\overline {CC'}}+z\cdot {\overline {CC'}}+x\cdot {\overline {CC'}}=(y+z+x)\cdot {\overline {CC'}}=1\cdot {\overline {CC'}}={\overline {CC'}}$ (8)

Ist $CC'$ die längste Cevasche Strecke, so wird in (8) das Größerzeichen durch das Kleinerzeichen ersetzt.

Sind alle drei Cevaschen Strecken $AA'$, $BB'$ und $CC'$ gleich lang, so wird in (8) das Größerzeichen durch das Gleichheitszeichen ersetzt.

Siehe auch

• Satz von Ceva
• Cevane

Weblinks

Commons: Ceva's theorem – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien