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Bedingte Entropie

(Weitergeleitet von Blockentropie)

In der Informationstheorie ist die bedingte Entropie ein Maß für die „Ungewissheit“ über den Wert einer Zufallsvariablen , welche verbleibt, nachdem das Ergebnis einer anderen Zufallsvariable bekannt wird. Die bedingte Entropie wird geschrieben und hat einen Wert zwischen 0 und , der ursprünglichen Entropie von . Sie wird in der gleichen Maßeinheit wie die Entropie gemessen.

Speziell hat sie den Wert 0, wenn aus der Wert von funktional bestimmt werden kann, und den Wert , wenn und stochastisch unabhängig sind.

Inhaltsverzeichnis

DefinitionBearbeiten

Seien   eine diskrete Zufallsvariable und   ihr Wertevorrat, das heißt   ist eine höchstens abzählbare Menge mit  . Dann ist die Entropie von   durch

 

definiert, wobei für   typischerweise die Werte 2 (Bit) oder e (Nat) für die entsprechenden Einheiten angenommen werden. Ist für ein   die Wahrscheinlichkeit   gleich  , so wird per Konvention   gesetzt, der entsprechende Term geht also nicht in die Summe ein.

Es sei nun   ein Ereignis mit  . Dann definiert man die bedingte Entropie von   gegeben   durch Ersetzen der Wahrscheinlichkeit durch die bedingte Wahrscheinlichkeit, d. h.

 .

Jetzt sei   eine diskrete Zufallsvariable mit Wertevorrat  . Dann ist die bedingte Entropie von   gegeben   definiert als gewichtetes Mittel der bedingten Entropien von   gegeben den Ereignissen   für  , d. h.

 .

Auf höherer Abstraktionsebene handelt es sich bei   um den bedingten Erwartungswert der Informationsfunktion   gegeben   und bei   um den Erwartungswert der Funktion  .

EigenschaftenBearbeiten

 
Ein gedächtnisloser Kanal verbindet zwei Quellen. Die Transinformation I(x;y) ist diejenige Information, die von X gesendet und auch von Y empfangen wurde.

Eine einfache Rechnung zeigt

 ,

also ist die Unsicherheit von   gegeben   gleich der Unsicherheit von   und   abzüglich der Unsicherheit von  .

Es ist   mit Gleichheit genau dann, wenn   und   stochastisch unabhängig sind. Dies folgt aus der Tatsache, dass   genau dann gilt, wenn   und   stochastisch unabhängig sind. Außerdem bedeutet es, dass   ist, also die komplette empfangene Information nur Fehlinformation ist. Analog geht die komplette Information von der Quelle X verloren, so dass dann auch keine Transinformation vorhanden ist.

Außerdem gilt

 ,

mit Gleichheit genau dann, wenn   funktional von   abhängt, d. h.   für eine Funktion  .

BlockentropieBearbeiten

Übertragen auf eine multivariate Zufallsvariable   der Länge  , als Darstellung für einen  -Block von Symbolen  , lässt sich die bedingte Entropie   definieren als die Unsicherheit eines Symbols   (nach einem bestimmten vorgegebenen  -Block):

  mit  ,

wobei   die Blockentropie bezeichnet. Für die bedingte Entropie  , also die Unsicherheit eines Symbols nach einem  -Block, folgt:

 

Die Definitionen der Blockentropie und der bedingten Entropie sind im Grenzübergang gleichwertig, vgl. Quellentropie.

In engem Zusammenhang zur bedingten Entropie steht auch die Transinformation, die die Stärke des statistischen Zusammenhangs zweier Zufallsgrößen angibt.

BeispielBearbeiten

Sei X eine Quelle, die periodisch die Zeichen ...00100010001000100010... sendet.

Nun soll unter Berücksichtung vorangegangener Zeichen die bedingte Entropie des aktuell zu beobachtenden Zeichens berechnet werden.

Keine berücksichtigten ZeichenBearbeiten

 
 
 

Die Berechnung erfolgt nach der Definition der Entropie.

Wahrscheinlichkeitstabelle:

x=0 x=1
P(X=x)    

Ein berücksichtigtes ZeichenBearbeiten

Sei nun X:=xt und Y:=xt-1. Es ergeben sich folgende Wahrscheinlichkeiten:

 
 
 
 
 
 
 

Wahrscheinlichkeitstabellen:

P(X|Y) x=0 x=1
y=0    
y=1    

Wobei gilt:
 
           

y=0 y=1
     

Zwei berücksichtigte ZeichenBearbeiten

Sei X:=xt und Y:=(xt-2, xt-1). Es ergeben sich folgende Wahrscheinlichkeiten:

 
 
 
Y=(1,1) kommt in der Quelle nie vor, braucht also nicht betrachtet zu werden.
 
 
 
 

Wahrscheinlichkeitstabellen:

P(X|Y) X=0 X=1
y=(0,0)    
y=(0,1)    
y=(1,0)    
y=(1,1)    

Wobei gilt:  
 

y=(0,0) y=(0,1) y=(1,0) y=(1,1)
P(Y=y)        

Wobei gilt:
 

Drei berücksichtigte ZeichenBearbeiten

 

Sind bereits drei nacheinander folgende Zeichen bekannt, so ist damit auch das folgende Zeichen determiniert (denn die Quelle verhält sich ja periodisch). Somit erhält man keine neue Information über das nächste Zeichen. Demnach muss die Entropie null sein. Dies kann man auch an der Wahrscheinlichkeitstabelle ablesen:

P(X|Y) X=0 X=1
y=(0,0,0)    
y=(0,0,1)    
y=(0,1,0)    
y=(0,1,1)    
y=(1,0,0)    
y=(1,0,1)    
y=(1,1,0)    
y=(1,1,1)    

Wobei gilt:
 
            

Unmögliche Ereignisse werden hier mit "-" gekennzeichnet, z. B. bei y=(1,0,1). Diese Ausgabe wird die gegebene Quelle nie liefern, da nach einer Eins immer drei Nullen folgen.

Man sieht, dass in der Tabelle keine anderen Wahrscheinlichkeiten auftreten als 0 oder 1. Da nach der Definition der Entropie gilt  , muss schließlich die Entropie   sein.

Erläuterung zu den Wahrscheinlichkeitstabellen

Die Tabellen beziehen sich auf die obige Beispielzeichensequenz.

P(X|Y) x=0 x=1
y=0    
y=1    

Wobei gilt:
 

Hier betrachtet man ein Zeichen   unter der Bedingung des vorangegangenen Zeichens  . Ist beispielsweise ein Zeichen  , so lautet die Frage: Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist das darauffolgende Zeichen   bzw.  ? Für   ist das nächste Zeichen   immer  . Somit ist  . Außerdem folgt daraus, dass   ist, da die Zeilensumme immer Eins ist.

P(X) xt=0 xt=1
xt-1=0    
xt-1=1    

Wobei gilt:
 

Hier betrachtet man die Auftrittshäufigkeit einer Zeichenkombination. Man kann aus der Tabelle lesen, dass die Buchstabenkombinationen (0,1) und (1,0) genauso häufig auftreten. Die Summe aller Matrixeinträge ergibt Eins.

Entropie und InformationsgehaltBearbeiten

Die Entropie fällt bei diesem Beispiel umso stärker, je mehr Zeichen berücksichtigt werden (siehe auch: Markow-Prozess). Wenn die Anzahl der berücksichtigten Zeichen hinreichend groß gewählt wird, so konvergiert die Entropie gegen Null.

Möchte man den Informationsgehalt der gegebenen Zeichenfolge aus n=12 Zeichen berechnen, so erhält man nach Definition Iges = n⋅H(X|Y) bei...

...keinem berücksichtigten Zeichen 9,39 bit Gesamtinformation. (Informationsgehalt statistisch unabhängiger Ereignisse)
...einem berücksichtigten Zeichen 8,26 bit Gesamtinformation.
...zwei berücksichtigten Zeichen 6 bit Gesamtinformation.
...drei berücksichtigten Zeichen 0 bit Gesamtinformation.

LiteraturBearbeiten

  • Martin Werner: Information und Codierung. Grundlagen und Anwendungen, 2. Auflage, Vieweg+Teubner Verlag, Wiesbaden 2008, ISBN 978-3-8348-0232-3.
  • Karl Steinbuch, Werner Rupprecht: Nachrichtentechnik. Eine einführende Darstellung, Springer Verlag, Berlin / Heidelberg 1967.
  • R. Mathar: Informationstheorie. Diskrete Modelle und Verfahren, B.G. Teubner Verlag, Stuttgart 1996, ISBN 978-3-519-02574-0.

WeblinksBearbeiten