Bellsche Zahl

Die Bellsche Zahl, Bellzahl oder Exponentialzahl ist die Anzahl der Partitionen einer -elementigen Menge. Benannt ist sie nach dem Mathematiker Eric Temple Bell. Die Folge beginnt mit

(Folge A000110 in OEIS)

BedeutungBearbeiten

PartitionenBearbeiten

Eine Partition   einer Menge   beinhaltet paarweise disjunkte Teilmengen von  , sodass jedes Element aus   in genau einer Menge aus   vorkommt. Für alle natürlichen Zahlen einschließlich der null   bezeichnet nun die Bellsche Zahl   die Anzahl   der möglichen verschiedenen Partitionen einer Menge mit der Mächtigkeit  , wobei   die Menge aller möglichen Partitionen darstellt. Formal:

 
 
 
 

Die Bellsche Zahl mit dem Index 0   – also die Anzahl der Partitionen der leeren Menge   – ist 1 weil die einzige Partition der leeren Menge wieder die leere Menge selbst ist. Dies ist so, weil alle Aussagen mit dem Allquantor über die Elemente der leeren Menge wahr sind (siehe leere Menge).

Multiplikative PartitionenBearbeiten

Sei   eine quadratfreie Zahl, so ist  , wobei   die Funktion zur Bestimmung der Anzahl der einzigartigen Primfaktoren ist. Dann ist   wiederum die Anzahl der unterschiedlichen multiplikativen Partitionen von  .

Sei zum Beispiel  , so ist   (da 30 aus den drei Primfaktoren 2, 3 und 5 besteht) und   ist damit die Anzahl der multiplikativen Partitionen. Diese lauten:

 

EigenschaftenBearbeiten

Für die Bellschen Zahlen gelten die Rekursionsformel

 

und die Formel (Dobiński 1877)[1]

 

somit ist   auch das  -te Moment einer Poisson-Verteilung mit Erwartungswert 1.

Die erzeugende Funktion der Bellzahlen ist

 

die exponentiell erzeugende Funktion ist

 

Außerdem genügen die Bellzahlen der Kongruenz (Touchard 1933)[2]

 

für natürliche Zahlen   und Primzahlen  , insbesondere   und   und, nach Iteration,[3]

 

Es wird vermutet, dass   die kleinste Periode von   ist.[4][5] Für Primzahlen   ist

 

für   gilt die Kongruenz  .[6]

Da die Stirling-Zahl   zweiter Art die Anzahl der  -Partitionen einer  -elementigen Menge ist, gilt

 

AsymptotikBearbeiten

Für die Bellzahlen sind verschiedene asymptotische Formeln bekannt, etwa

      mit      

mit der Lambert-W-Funktion  .

Bellsches DreieckBearbeiten

Die Bellschen Zahlen lassen sich intuitiv durch das Bellsche Dreieck erzeugen, welches – wie das Pascalsche Dreieck – aus Zahlen besteht und pro Zeile ein Element bzw. eine Spalte mehr besitzt. Das Bellsche Dreieck wird gelegentlich auch Aitkens array (nach Alexander Aitken) oder Peirce-Dreieck (nach Charles Sanders Peirce) genannt.

Es wird nach den folgenden Regeln konstruiert:

  1. Die erste Zeile hat nur ein Element: Die Eins (1).
  2. Wenn die  -te Zeile (von 1 beginnend)   Elemente hat, so wird eine neue Zeile erzeugt. Dabei ergibt sich die erste Zahl der neuen Zeile aus der letzten Zahl der letzten Zeile.
  3. Die  -te Zahl der Zeile   (für  ) ergibt sich aus der Summe des  -ten Elements derselben Zeile und des  -ten Elements der vorherigen Zeile (also jene mit der Nummer  ).
  4.   ist nun das  -te Element aus der  -ten Zeile.

Die ersten fünf Zeilen – erzeugt nach diesen Regeln – sehen wie folgt aus:

 1
 1   2
 2   3   5
 5   7  10  15
15  20  27  37  52

Wegen des zweiten Schritts sind die Bellschen Zahlen sowohl auf der linken als auch auf der rechten Kante des Dreiecks zu sehen, lediglich mit dem Unterschied, dass in der  -ten Zeile links die Zahl   und rechts die Zahl   ist.

Bellsche PrimzahlenBearbeiten

Im Jahre 1978 formulierte Martin Gardner die Frage, ob unendlich viele Bellsche Zahlen auch Primzahlen sind. Die ersten Bellschen Primzahlen sind:

  (Folge A051130 in OEIS)   (Folge A051131 in OEIS)
2 2
3 5
7 877
13 27644437
42 35742549198872617291353508656626642567
55 359334085968622831041960188598043661065388726959079837

Die nächste Bellsche Primzahl ist  , die etwa   entspricht.[7] Sie ist auch die aktuell größte bekannte Bellsche Primzahl (Stand: 5. August 2018). Im Jahre 2002 zeigte Phil Carmody auf, dass es sich bei dieser Zahl wahrscheinlich um eine Primzahl (eine sogenannte PRP-Zahl) handelt, sie also entweder tatsächlich eine echte Primzahl oder eine Pseudoprimzahl ist. Nach einer 17-monatigen Berechnung mit Marcel Martins Programm „Primo“, welches mit einem Verfahren mit elliptischen Kurven arbeitet, bewies Ignacio Larrosa Cañestro im Jahre 2004, dass es sich bei   um eine Primzahl handelt. Gleichzeitig schloss er weitere Bellsche Primzahlen bis zu einer Grenze von   aus, welche später von Eric Weisstein auf   angehoben wurde.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. G. Dobiński: Summirung der Reihe   für  , Grunert-Archiv 61, 1877, S. 333–336
  2. Jacques Touchard: Propriétés arithmétiques de certains nombres récurrents, Annales de la Société scientifique de Bruxelles A 53, 1933, S. 21–31 (französisch)
  3. Marshall Hall: Arithmetic properties of a partition function, Bulletin of the AMS 40, 1934, S. 387 (englisch; nur Abstract)
  4. Christian Radoux: Nombres de Bell, modulo p premier, et extensions de degré p de Fp, Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’académie des sciences 281 A, 1975, S. 879–882 (französisch)
  5. Peter L. Montgomery, Sangil Nahm, Samuel S. Wagstaff: The period of the Bell numbers modulo a prime (PDF-Datei, 168 kB), Mathematics of computation 79, 2010, S. 1793–1800 (englisch)
  6. Anne Gertsch, Alain M. Robert: Some congruences concerning the Bell numbers, Bulletin of the Belgian Mathematical Society – Simon Stevin 3, 1996, S. 467–475 (englisch)
  7. 93074010508593618333...(6499 other digits)...83885253703080601131 auf Prime Pages. Abgerufen am 5. August 2018.

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten