Asymptotische Dimension

In der Mathematik ist die asymptotische Dimension eine Invariante metrischer Räume, die vor allem in der geometrischen Gruppentheorie von Bedeutung ist.

DefinitionBearbeiten

Die asymptotische Dimension   eines metrischen Raumes   ist die kleinste natürliche Zahl   mit folgender Eigenschaft:

für jedes   gibt es eine Überdeckung von   durch offene Mengen   von beschränktem Durchmesser, so dass für jedes   die metrische Kugel   höchstens   dieser Mengen schneidet.

BeispieleBearbeiten

  • Die asymptotische Dimension eines kompakten Raums ist 0.
  • Die asymptotische Dimension des euklidischen Raums   ist  .
  • Die asymptotische Dimension eines Gromov-hyperbolischen Raums ist  , wobei   den Rand im Unendlichen bezeichnet.

EigenschaftenBearbeiten

  • Aus   folgt  .
  • Die asymptotische Dimension ist invariant unter Quasi-Isometrien und allgemeiner unter groben Isometrien.
  • Für Produkträume gilt  .
  • Satz von Bell-Dranishnikov: Sei   ein geodätischer metrischer Raum,   eine Lipschitz-stetige Abbildung und für alle   und alle   sei  , dann gilt  .

WeblinksBearbeiten