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Grafische Darstellung aller Up-Down-Permutationen der Länge fünf, angefangen mit der Permutation (1,3,2,5,4) (oben links) und endend mit der Permutation (4,5,2,3,1) (unten rechts).

Eine alternierende Permutation (auch Zickzack-Permutation genannt) ist in der Kombinatorik eine Permutation der ersten natürlichen Zahlen, bei der keine Zahl der Größe nach zwischen der vorangehenden und der nachfolgenden Zahl steht. Beginnt die Folge mit einem Anstieg, so spricht man von einer Up-Down-Permutation, beginnt sie mit einem Abstieg von einer Down-Up-Permutation. Alternierende Permutationen weisen eine Reihe von Spiegelsymmetrien auf. Jede alternierende Permutation ungerader Länge entspricht einem vollen partiell geordneten Binärbaum und jede alternierende Permutation gerader Länge einem fast vollen solchen Baum. Die Anzahlen der alternierenden Permutationen fester Länge treten als Koeffizienten in der Maclaurin-Reihe der Sekans- und der Tangensfunktion auf und stehen in engem Zusammenhang mit den Euler- und den Bernoulli-Zahlen.

Inhaltsverzeichnis

DefinitionBearbeiten

 
Illustration einer Up-Down-Permutation der Zahlen von 1 bis 7

Ist   die symmetrische Gruppe aller Permutationen der Menge  , dann heißt eine Permutation   alternierend, wenn in ihrer Tupeldarstellung

 

die Zahlen   immer abwechselnd größer und kleiner als die jeweils vorangegangene Zahl sind. Es muss also für   entweder

 

oder

 

gelten. Beginnt die Folge der Zahlen mit einem Anstieg, ist also  , so spricht man von einer Up-Down-Permutation, beginnt sie mit einem Abstieg, gilt also  , von einer Down-Up-Permutation.[1][2] Allgemeiner können auch alternierende Permutationen geordneter endlicher Mengen, beispielsweise Alphabete, betrachtet werden, zur Analyse der mathematischen Eigenschaften kann man sich jedoch auf die ersten   natürlichen Zahlen beschränken.

BeispieleBearbeiten

  Up-Down-Permutationen Down-Up-Permutationen Anzahl
2 (1,2) (2,1) 2
3 (1,3,2), (2,3,1) (2,1,3), (3,1,2) 4
4 (1,3,2,4), (1,4,2,3),
(2,3,1,4),
(2,4,1,3),
(3,4,1,2)
(2,1,4,3),
(3,1,4,2),
(3,2,4,1),
(4,1,3,2),
(4,2,3,1)
10

Die Permutation

 

ist eine Up-Down-Permutation, denn es gilt  . Die Permutation

 

ist hingegen eine Down-Up-Permutation, da   gilt. Die Permutation

 

ist keine alternierende Permutation, denn sie enthält mit   zwei aufeinander folgende Anstiege.

Die nebenstehende Tabelle führt alle alternierenden Permutationen der symmetrischen Gruppen vom Grad zwei bis vier auf.

SymmetrienBearbeiten

An- und AbstiegeBearbeiten

Bei einer alternierenden Permutation wechseln sich Anstiege mit Abstiegen ab. Bei einer Up-Down-Permutation gilt   für ungerade   und   für gerade  , bei Down-Up-Permutationen entsprechend umgekehrt. Eine alternierende Permutation gerader Länge weist demnach ebenso viele An- wie Abstiege auf. Eine Up-Down-Permutation ungerader Länge hat einen Anstieg mehr als Abstiege, eine Down-Up-Permutation ungerader Länge einen Abstieg mehr als Anstiege. Weiterhin weisen alternierende Permutationen die folgenden beiden Arten von Spiegelsymmetrien auf.

Horizontale SymmetrieBearbeiten

 
Horizontale (oben) und vertikale (unten) Spiegelsymmetrien zwischen Up-Down-Permutationen (blau) und Down-Up-Permutationen (rot) jeweils ungerader und gerader Länge

Liest man eine Permutation von rechts nach links, erhält man die entsprechende reverse Permutation. Die Reverse einer Up-Down-Permutation ist wieder eine Up-Down-Permutation, falls   ungerade ist und eine Down-Up-Permutation, falls   gerade ist. Analog dazu ist die Reverse einer Down-Up-Permutation wieder eine Down-Up-Permutation, wenn   ungerade ist, und eine Up-Down-Permutation, wenn   gerade ist. Die Abbildung

 

stellt also eine Involution der Menge der Up-Down- bzw. der Down-Up-Permutationen dar, falls   ungerade ist und eine Bijektion zwischen den beiden Mengen, falls   gerade ist.

Vertikale SymmetrieBearbeiten

Ersetzt man in einer Permutation für   jede Zahl   durch die Zahl  , erhält man die entsprechende komplementäre Permutation. Das Komplement einer Up-Down-Permutation ist stets eine Down-Up-Permutation und umgekehrt. Die Abbildung

 

stellt damit für jedes   eine Bijektion zwischen der Menge der Up-Down-Permutationen und der Menge der Down-Up-Permutationen dar.[1]

AnzahlBearbeiten

Rekursive DarstellungBearbeiten

Anzahl der Down-Up-Permutationen von n Zahlen, die mit der Zahl k beginnen
  1 2 3 4 5 6 7 Summe
2 0 1 1
3 0 1 1 2
4 0 1 2 2 5
5 0 2 4 5 5 16
6 0 5 10 14 16 16 61
7 0 16 32 46 56 61 61 272
Anzahl der Up-Down-Permutationen von n Zahlen, die mit der Zahl k beginnen
  1 2 3 4 5 6 7 Summe
2 1 0 1
3 1 1 0 2
4 2 2 1 0 5
5 5 5 4 2 0 16
6 16 16 14 10 5 0 61
7 61 61 56 46 32 16 0 272

Aufgrund der vorstehenden Symmetrie gibt es ebenso viele Up-Down- wie Down-Up-Permutationen. Nachdem diese beiden Mengen für   disjunkt sind, kann man sich bei der Zählung auf einen der beiden Typen beschränken. Bezeichnet nun   die Anzahl der Down-Up-Permutationen der Länge  , sowie   die Anzahl der Down-Up-Permutationen der Länge  , die mit der Zahl   beginnen, dann gilt

 .

Die Zahlen   werden für ungerades   auch (positive) Eulersche Zahlen genannt, die Zahlen   heißen auch Entringer-Zahlen (Folge A008282 in OEIS). Man erhält jede der Down-Up-Permutationen der Länge   und Startzahl  , indem man bei einer Up-Down-Permutation der Länge  , die höchstens mit der Zahl   beginnt, alle Zahlen von   bis   um eins erhöht und die Zahl   vorne anfügt. Nachdem jede Up-Down-Permutation durch vertikale Spiegelung einer Down-Up-Permutation entsteht, erhält man so für die Anzahl   mit   und   die Rekurrenz

 ,

wobei   und   für alle   gesetzt wird. Diese Rekurrenz lässt sich zu

 

vereinfachen. Entsprechend gespiegelte Rekurrenzen lassen sich auch für die Anzahl der Up-Down-Permutationen, die mit der Zahl   beginnen, herleiten (Folge A010094 in OEIS).

Explizite DarstellungBearbeiten

Durch Auflösung der Rekurrenzen erreicht man nun für die Anzahl der Up-Down- oder Down-Up-Permutationen ungerader Länge die explizite Summendarstellung[3]

 

und für die Anzahl der Up-Down- oder Down-Up-Permutationen gerader Länge die entsprechende Darstellung

 .

Insgesamt erhält man so für die Anzahl der Up-Down- oder Down-Up-Permutationen   die Folge

    (Folge A000111 in OEIS)

und für die Gesamtzahl   der alternierenden Permutationen der Länge   die Folge

    (Folge A001250 in OEIS).

Korrespondenz zu BinärbäumenBearbeiten

 
Umwandlung einer Up-Down-Permutation in einen vollen, partiell geordneten Binärbaum

Im Folgenden werden Binärbäume betrachtet, deren Knoten mit den ersten natürlichen Zahlen bezeichnet sind. Ein Binärbaum heißt voll, wenn jeder Knoten entweder zwei oder keine Kindknoten hat. In einem partiell geordneten Binärbaum sind alle Knoten derart markiert, dass die Zahl eines Vaterknotens immer größer, als die Zahlen der Kindknoten sind. Jede Up-Down-Permutation ungerader Länge   entspricht nun einem vollen, partiell geordneten Binärbaum mit   Knoten.[4] Um diese Korrespondenz zu konstruieren, wählt man die größte Zahl   als Wurzelknoten des Baums aus und betrachtet die Teilpermutationen

    und    

links und rechts dieser Zahl. Die beiden Teilpermutationen sind nun wieder Up-Down-Permutationen jeweils einer Teilmenge der Zahlen  . Von diesen Teilpermutationen kann nun wieder jeweils das größte Element ausgewählt werden und auf diese Weise rekursiv ein voller, partiell geordneter Binärbaum aufgebaut werden (siehe Abbildung). Die rekursive Struktur der Binärbäume kann man sich nun zunutze machen, um weitere Rekurrenzen herzuleiten. Der Wurzelknoten muss einen geraden Index   aufweisen, sodass der linke Teilbaum   Knoten und der rechte Teilbaum   Knoten besitzt. Es gibt nun genau   Möglichkeiten, die Zahlen des linken Teilbaums auszuwählen, wodurch die übrigen Zahlen im rechten Teilbaum stehen müssen. Setzt man  , so folgt daraus für die Anzahl der Up-Down-Permutationen ungerader Länge die Rekurrenz[5]

 

mit Startwert  . Jede Up-Down-Permutation gerader Länge   entspricht einem fast vollen, partiell geordneten Binärbaum mit   Knoten, bei dem nur das am weitesten rechts stehende Blatt des Baums fehlt. Für die Anzahl der Up-Down-Permutationen gerader Länge erhält man die entsprechende Rekurrenz

 

mit Startwert  . Analog zu diesen beiden Fällen entspricht jede Down-Up-Permutation einem bezüglich der umgedrehten Ordnung partiell geordneten Binärbaum, der bei ungerader Länge voll und bei gerader Länge fast voll ist. Aufgrund der Spiegelsymmetrie erhält man so für die Gesamtzahl der alternierenden Permutationen der Länge   die Rekurrenz[6]

 

und nach Setzen von   die diskrete Faltung[5]

 .

Erzeugende FunktionenBearbeiten

DifferentialgleichungBearbeiten

Die exponentiell erzeugende Funktion der Folge  

 

erfüllt die gewöhnliche Differentialgleichung

 

mit der Anfangsbedingung  , wie durch Einsetzen der obigen Rekurrenz nachgerechnet werden kann. Durch Separation der Variablen erhält man die Lösung dieses Anfangswertproblems als

 .

Dieses klassische Resultat der analytischen Kombinatorik aus dem Jahr 1881 geht auf den französischen Mathematiker Désiré André zurück.[7]

Maclaurin-ReihenBearbeiten

Die Zahlen   werden für gerades   auch Sekantenzahlen genannt und treten in der Maclaurin-Reihe der Sekansfunktion

 

auf, während die Zahlen für ungerades   auch Tangentenzahlen genannt werden und in der Reihenentwicklung der Tangensfunktion

 

vorkommen.[6] Die Zahlen   stehen dabei in enger Verwandtschaft zu den Bernoulli-Zahlen  .[8]

AsymptotikBearbeiten

Für den Anteil der alternierenden Permutationen in der Menge aller Permutationen gilt für   asymptotisch

 .

Dieser Anteil entspricht der Wahrscheinlichkeit, dass eine (gleichverteilt) zufällige Permutation der Länge   alternierend ist.[8]

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. a b Stanley: Enumerative Combinatorics. S. 32.
  2. Dobrushkin: Methods in Algorithmic Analysis. 2011, S. 430–431.
  3. Louis Comtet: Advanced Combinatorics. Reidel, Dordrecht 1974, ISBN 90-277-0380-9, S. 259.
  4. Bornemann: Konkrete Analysis: für Studierende der Informatik. S. 139.
  5. a b Bornemann: Konkrete Analysis: für Studierende der Informatik. S. 140.
  6. a b Stanley: Enumerative Combinatorics. S. 47.
  7. Flajolet, Sedgewick: Analytic Combinatorics. S. 2.
  8. a b Bornemann: Konkrete Analysis: für Studierende der Informatik. S. 141–142.