Airysche Spannungsfunktion

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Die Airy’sche Spannungsfunktion – benannt nach George Biddell Airy – ist eine Funktion, aus der sich analytische Lösungen für Randwertaufgaben der linearen ebenen Elastostatik herleiten lassen. Die Airy’sche Spannungsfunktion basiert also auf der Annahme linearer Elastizität, kleiner Verschiebungen und statischer zeitunabhängiger Beanspruchungen in der Ebene. Das Auffinden einer Lösung der Randwertaufgabe verschiebt sich auf das Auffinden einer Spannungsfunktion, die den Randbedingungen genügt. Aus der Literatur sind viele Beispiele und Ansatzfunktionen bekannt, mit deren Hilfe die Konstruktion einer Lösung vereinfacht wird.

Die Spannungen in der Ebene berechnen sich aus Ableitungen der Spannungsfunktion, daher ihr Name. Über die lineare Elastizität folgen aus den Spannungen die Dehnungen aus denen wiederum die Verschiebungen in der Ebene berechnet werden. Der Erfolg dieses Vorgehens ist gesichert, wenn die Spannungsfunktion die sog. biharmonische Differentialgleichung, Scheibengleichung oder Bipotentialgleichung erfüllt, die eine partielle Differentialgleichung 4. Ordnung darstellt. Dann liegt Gleichgewicht vor und die berechneten Dehnungen sind kompatibel, was bedeutet, dass sich aus ihnen die Verschiebungen auch tatsächlich konstruieren lassen.

Für das Auffinden der Lösung müssen zunächst die Randbedingungen formuliert werden, die wegen der Beschränkung auf die Statik nicht von der Zeit abhängen dürfen. Es können sowohl Spannungsrandbedingungen (flächenverteilte Kräfte) als auch Verschiebungsrandbedingungen vorgegeben werden. Aus dem Fundus der aus der Literatur bekannten Lösungsfunktionen der Scheibengleichung wird ein Satz ausgewählt, der diese Randbedingungen erfüllt, und die Parameter der Funktionen an die Vorgaben angepasst.

Praktische Bedeutung hat die Airy’sche Spannungsfunktion in der Berechnung gerader oder ebener Konstruktionselemente (Stäbe, Balken, Scheiben) die im Maschinenbau und der Baustatik weit verbreitet sind. Hier sind die Verformungen oft klein oder müssen aus sicherheitstechnischen Gründen klein gehalten werden. Die verwendeten Materialien weisen oft bis zu gewissen Anwendungsgrenzen in guter Näherung ein linear elastisches Verhalten auf. Die in der technischen Mechanik bekannten Formeln für die Dehnung des geraden Stabes, der Biegung des geraden Balkens und der Scheibentheorie können auch mit der Airy’schen Spannungsfunktion dargestellt werden. Sie findet aber vor allem in anderen Problemen Anwendung wie z. B. der Biegung des stabförmigen Kreisrings, der Belastung der Scheibe mit Loch oder der Ebene mit Schlitz (Griffith Riss).

Die Beltrami Spannungsfunktionen sind die Verallgemeinerung der Airy’schen Spannungsfunktion auf drei Dimensionen.

VoraussetzungenBearbeiten

Die hier dargestellten Definitionen sind allgemein üblich und keine speziellen Annahmen für die Konstruktion der Spannungsfunktion. Betrachtet wird ein ebener, in der xy-Ebene eines kartesischen Koordinatensystems liegender Flächenträger.

KinematikBearbeiten

 
Verschiebungen in der xy-Ebene

Die Verschiebungen eines jeden Punktes in der Ebene des Flächenträgers wird durch zwei Funktionen beschrieben. Nach Voraussetzung liegt der Träger in der xy-Ebene und dort ist es üblich die Verschiebung in x-Richtung mit   zu bezeichnen, die in y-Richtung mit   und die in z-Richtung mit  , siehe Bild. Die Funktionen   und   sind von den Ortskoordinaten abhängig. Die Anwendung hier beschränkt sich auf  ,   und   mit einer Konstanten  . Andere Abhängigkeiten werden hier vernachlässigt. In der xy-Ebene sind also (kleine) Verschiebungen erlaubt, senkrecht dazu nur zu   proportionale. Die Scheibenebene liegt bei  , so dass die Scheibe sich nicht durchbiegen oder insgesamt in z-Richtung verschieben kann. Dies sind in der Scheibentheorie übliche Annahmen.

Die Dehnungen beschreiben, wie stark sich die Verschiebungen von einem Ort zum anderen ändern: Orte, wo sich die Verschiebungen stark ändern, weisen große Dehnungen auf. Entsprechend liegt es nahe, die Dehnungen aus den Ableitungen nach dem Ort zu berechnen. Im geometrisch linearen Fall hier sind die einzig relevanten Dehnungskomponenten:

 .

Die Funktionen   und   sind die Normaldehnungen in x-, y- bzw. z-Richtung und   ist die Schubverzerrung in der xy-Ebene. Andere (in drei Dimensionen mögliche) Dehnungskomponenten verschwinden nach Voraussetzung.

Ebener Spannungs- und DehnungszustandBearbeiten

Scheiben sind ebene Flächenträger, die nur in ihrer Ebene belastet werden. Stäbe und Balken sind in dieser Betrachtung als Sonderfall der schmalen und dünnen Scheibe enthalten. Wenn keine Belastungen senkrecht zur Ebene auftreten, herrscht in der Scheibe ein ebener Spannungszustand (ESZ). Flächenträger, die auch senkrecht zu ihrer Ebene belastet werden, werden als Platten bezeichnet. Ist diese Platte so dick, dass sie durch die senkrecht auf sie wirkende Belastung nicht merklich zusammengedrückt wird, herrscht in ihrer Ebene ein ebener Verzerrungszustand (EVZ). Beim ebenen Spannungszustand sind alle Spannungskomponenten, beim ebenen Verzerrungszustand alle Dehnungskomponenten senkrecht zur Ebene des Flächenträgers vernachlässigbar klein.

Lineare ElastizitätBearbeiten

Bei einem linear elastischen Körper hängen die Spannungen   im ESZ nach folgender Matrizengleichung von den Dehnungen   ab:

 

Der Parameter   ist der Elastizitätsmodul und   die Querkontraktionszahl. Die zz-Komponente der Dehnung ergibt sich zu

 .

Auf der linken Seite der Gleichung steht eine Konstante aber auf der rechten Seite zumeist nicht. Deshalb wird der ESZ im Allgemeinen nur näherungsweise erfüllt werden. Im EVZ gilt

 

mit der zz-Komponente der Spannung

 

worin die Lamé-Konstante   benutzt wurde.

Hieraus können folgende Zusammenhänge abgelesen werden:

 

mit

Größe Ebener Verzerrungszustand (EVZ) Ebener Spannungszustand (ESZ)
     
     
     

Indem   durch   ausgetauscht wird, gehen die Formeln für den EVZ in die für den ESZ über.

KompatibilitätsbedingungBearbeiten

Sollen aus den Verzerrungen die Verschiebungen bestimmt werden, was hier der Fall ist, müssen aus den drei Verzerrungen   und   nur zwei Verschiebungen   und   berechnet werden, die Verzerrungen können also nicht voneinander unabhängig sein. Die Kompatibilitätsbedingung stellt sicher, dass aus den Verzerrungen die Verschiebungen rekonstruierbar sind. Die Schubverzerrungen   werden nach x- und y abgeleitet und die Normaldehnungen eingesetzt

 .

Dies ist die Kompatibilitätsbedingung für die Dehnungen im zweidimensionalen Fall. Werden hier die Dehnungen durch die Spannungen ersetzt und die Gleichung mit   multipliziert, ergibt sich:

 .

GleichgewichtBearbeiten

 
Spannungen an einem Scheibenelement

Im Gleichgewicht heben sich die Kräfte an einem Scheibenelement in x- und y-Richtung genau auf:

 

siehe Bild. Division durch   liefert im Grenzwert   und   die Gleichgewichtsbedingung in x- bzw. y-Richtung:

 .

Differentiation der oberen Gleichung nach x, der unteren nach y, Addition der resultierenden Gleichungen und Einsetzen der in Spannungen ausgedrückten Kompatibilitätsbedingung führt wegen   auf

 

mit dem Laplace-Operator

 .

Airy’sche SpannungsfunktionBearbeiten

Kartesische KoordinatenBearbeiten

Die Spannungskomponenten ergeben sich aus der Ableitung der Airy’schen Spannungsfunktion  :

 .

Dann sind die Gleichgewichtsbedingungen identisch erfüllt und die Kompatibilitätsbedingung liefert, für homogenes, isotropes, linear elastisches Material

 

oder

 

Dies ist die Scheibengleichung oder Bipotentialgleichung. Jede Funktion, die diese Gleichung erfüllt, heißt biharmonisch. Vorwiegend werden zu ihrer Lösung Polynome, logarithmische Funktionen sowie Produkte von Exponential- und Winkelfunktionen benutzt, von denen hier eine Auswahl gegeben sei:

 

In diesen Termen können x und y, sin und cos sowie sinh und cosh vertauscht werden.

Orthotropie

für homogenes, orthotropes, linear elastisches Material ergibt sich die beschreibende Differentialgleichung zu:

 [1][2]


Die Scheibengleichung bleibt gültig, wenn die Ebene mit Polarkoordinaten oder komplexen Zahlen parametrisiert wird.

PolarkoordinatenBearbeiten

Die Punkte in der xy-Ebene können alternativ auch in Polarkoordinaten angesprochen werden. Werden die obigen Formeln in Polarkoordinaten ausgedrückt, lautet der Laplace-Operator:

 .

Der Radius   ist der Abstand vom Ursprung und   der von der x-Achse gegen den Uhrzeigersinn messende Winkel zu einem Punkt in der Ebene. Die Spannungen werden in Polarkoordinaten wie folgt aus der Airy’schen Spannungsfunktion bestimmt:

 .

John Henry Michell fand, dass alle Funktionen, die die Scheibengleichung erfüllen, die folgende Form haben:

 .

Darstellung mit komplexen FunktionenBearbeiten

Aus der Funktionentheorie ist bekannt, dass jede biharmonische Funktion mittels zweier analytischer komplexer Funktionen   und   der komplexen Variablen   mit   dargestellt werden kann:

 .

Die Funktion   gibt den Realteil und   ist der konjugiert komplexe Wert.

Aus den komplexen Spannungsfunktionen ergeben sich die Verschiebungskomponenten   und   in der x-y Ebene und die Spannungskomponenten aus den Kolosov’schen Formeln:

 .

Darin ist  ,   und im ESZ lautet der Parameter   und im EVZ  . Auflösung nach den Spannungskomponenten liefert:

 .

Die Funktion   liefert den Imaginärteil ihres Arguments.

Berücksichtigung der SchwerkraftBearbeiten

Bei der Herleitung der Gleichgewichtsbedingungen oben wurde der Einfluss einer Schwerkraft vernachlässigt. Soll diese jedoch in Form eines Schwerkraftvektors

 

berücksichtigt werden, dann lauten die Gleichgewichtsbedingungen:

 .

Die Spannungskomponenten ergeben sich nun mit einer Funktion V aus dem modifizierten Ansatz:

 .

Aus den Gleichgewichtsbedingungen

 

ergibt sich dann

 

d. h. die Schwerkraft ist der negative Gradient des Skalarfeldes V. Mit demselben Vorgehen wie in #Kartesische Koordinaten oben leitet sich mit

 

die Kompatibilitätsbedingung

 

mit dem Materialparameter

 

ab.[3]

BeispieleBearbeiten

Dehnung des geraden StabesBearbeiten

 
Randbedingungen am geraden Stab

Ein gerader Stab der Länge   in x-Richtung und Querschnittsfläche   wird mit einer Kraft   gemäß der flächenverteilten Last   in x-Richtung langgezogen. Damit lauten die Randbedingungen

 .

Mit dem aus   motivierten Ansatz

 

ergibt sich die Normalspannung in y-Richtung wegen der Randbedingung bei   als die zweite Ableitung nach x zu:

 .

Die Normalspannung in x-Richtung ist die zweite Ableitung nach y

 

die konstant ist, weil sie bei   nicht von y abhängen soll. Zweimalige Integration über y liefert:

 .

Die Spannungsfunktion hat hier also die Form

 .

Damit ist   und  : Die Lösung ist also zulässig.

Aus den Dehnungen resultieren die Verschiebungen:

 .

Die Konstanten   werden an die Randbedingungen angepasst:

 

Also ist endgültig

Spannungen  
Dehnungen  
Verschiebungen  

 

Die Querkontraktion ist

 .

Wegen   und   ist die Lösung für den ESZ im Einklang mit der in der technischen Mechanik wohlbekannten Differentialgleichung für die Zug/Druck Beanspruchung des geraden Stabes:

 .

Homogener Spannungszustand in der EbeneBearbeiten

Die komplexe Spannungsfunktion

 

entspricht einem homogenen (gleichförmigen) Spannungszustand in der Ebene. Aus ihr berechnen sich die Spannungskomponenten

 .

Die Hauptspannungen lauten damit

 

siehe Mohrscher Spannungskreis. Die Winkel, unter denen die Hauptspannungen auftreten, sind durch

 

gegeben, wirken also in Richtung   und senkrecht dazu.

Der Griffith RissBearbeiten

 
Griffith Riss in der komplexen Zahlenebene

Mit Hilfe der Airy’schen Spannungsfunktion können die Spannungen in der Nähe einer Rissspitze analysiert werden. In die Mitte des Risses wird wie im Bild gezeigt ein kartesisches Koordinatensystem gelegt.   ist die halbe Risslänge. Das Innere des Einheitskreises in der komplexen   -Ebene wird mittels der Abbildung

 

auf die komplexe Zahlenebene mit Schlitz abgebildet. Die Umkehrung dieser Abbildung

 

ist nicht eindeutig für alle Punkte, die auf den Rissflanken liegen, mit Ausnahme der Rissspitzen. Die beiden Werte   und   sind reziprok zueinander (   ) und es ist diejenige Zahl zu nehmen, deren Betrag kleiner oder gleich als 1 ist. Auf den Rissflanken ist  ,  ,   und  . Die Rissspitzen selbst liegen bei   bzw.  . Für alle anderen Punkte der z-Ebene (   oder   ) ist die Abbildung   eindeutig. Im Folgenden wird   statt   geschrieben.

Innendruck auf den RissflankenBearbeiten

 
Griffith Riss unter Druckspannung auf den Rissflanken

Beim Riss mit Normalbelastung   in y-Richtung an den Rissflanken (Innendruck) ergeben sich die komplexen Spannungsfunktionen[4]

 

und die Spannungen

 .

Sie wachsen bei Annäherung an die Rissspitzen   über alle Grenzen: Hier liegt eine Singularität vor. Im Bild sind die Spannungsspitzen nur bis zu einem gewissen maximalen Wert dargestellt, daher die Plateaus.

Schubbelastung auf den RissflankenBearbeiten

 
Griffith Riss mit Schubspannung auf den Rissflanken

Beim Riss mit Schubbelastung   auf den Rissflanken ergeben sich die komplexen Spannungsfunktionen

 

und die Spannungen

 .

Sie wachsen bei Annäherung an die Rissspitzen   über alle Grenzen: Hier liegt eine Singularität vor. Im Bild sind die Spannungsspitzen nur bis zu einem gewissen maximalen Wert dargestellt, daher die Plateaus.

Siehe auchBearbeiten

FußnotenBearbeiten

  1. Faal, R. T., and S. J. Fariborz. "Stress analysis of orthotropic planes weakened by cracks." Applied mathematical modelling 31.6 (2007): 1133–1148.
  2. Hufenbach, Ing W., and Ing AS Herrmann. "Berechnung des Spannungs- und Verschiebungsfeldes anisotroper Scheiben mit elliptischem Ausschnitt." Ingenieur-Archiv 60.8 (1990): 507–517.
  3. R. Greeve (2003), S. 128ff
  4. In H.G. Hahn 1976 sind für einen Griffith-Riss unter einachsiger Zugbelastung   in einem Winkel   zum Riss die Spannungsfunktionen mit
     
    angegeben. Überlagerung mit dem homogenen Spannungszustand   führt auf die hier dargestellten Funktionen.

LiteraturBearbeiten

  • H. Parisch: Festkörper Kontinuumsmechanik. Teubner, 2003, ISBN 3-519-00434-8.
  • H.G. Hahn: Bruchmechanik, Teubner Studienbücher: Mechanik, B.G. Teubner Stuttgart 1976.
  • N.I. Musschelischwili: Einige Grundaufgaben zur mathematischen Elastizitätstheorie. C. Hanser, 1971.
  • W. Becker, D. Gross: Mechanik elastischer Körper und Strukturen. Springer, 2002. ISBN 3-540-43511-5, eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche
  • Gross, Th. Seelig: Bruchmechanik. Springer, 2001. ISBN 3-540-42203-X.
  • H. Grote, J. Feldhusen (Hrsg.): Dubbel Taschenbuch für den Maschinenbau. Springer, 2011. ISBN 978-3-642-17305-9, eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche
  • I.S. Sokolnikoff: Mathematical Theory of Elasticity, Robert E. Krieger Publishing Company, Malabar, Florida 1983.