Hauptmenü öffnen

Ackermann-Mengenlehre

axiomatische Mengenlehre

Die Ackermann-Mengenlehre ist eine axiomatische Mengenlehre, die 1955 von Wilhelm Ackermann angegeben wurde. Er versuchte in ihr, Cantors Mengendefinition in ein präzises Axiomensystem umzusetzen.

Die Ackermann-Mengenlehre erweitert die Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre ZFC um Klassen (dort: Gesamtheiten), unterscheidet sich aber von der bekannteren Neumann-Bernays-Gödel-Mengenlehre dadurch, dass echte Klassen auch Elemente anderer Klassen sein können und es daher auch kleine echte Klassen gibt. Die ZFC-Axiome gelten dort nur in einem echten Teilbereich, der das Fundierungsaxiom erfüllt (man kann ihn mit Neumanns kumulativer Hierarchie aussondern). Die Ackermann-Mengenlehre enthält daher einen erweiterten Mengenbereich mit nicht-fundierten Mengen und kann als Verallgemeinerung der üblichen ZFC-Mengenlehre und der Zermelo-Mengenlehre angesehen werden.

Die Ackermann-AxiomeBearbeiten

Ackermanns bemerkenswert einfaches Axiomensystem beruht auf der Prädikatenlogik erster Stufe mit Identität, der zweistelligen Elementrelation   und dem einstelligen Prädikat   und hat je ein Axiomenschema und ein Axiom für Klassen und für Mengen:

  • Klassen-Komprehension: Klassen von Mengen sind existent:
Für einstellige Prädikate   gilt:
 
Die Klasse   wird mit   bezeichnet.
  • Klassen-Extensionalität: Klassen mit denselben Elementen sind gleich:
 
  • Mengen-Komprehension: Ausschließlich mit Mengen belegte Klassen von Mengen sind Mengen:
Für Formeln  , in der genau die Variablen   frei vorkommen und in der das Prädikat   nicht vorkommt, gilt:
   
  • Elemente und Teilklassen von Mengen sind Mengen:
 
Nota bene: Dieses Axiom schließt aus, dass echte Klassen Mengenelemente sind, jedoch nicht, dass echte Klassen Elemente echter Klassen sind.

Das Auswahlaxiom ersetzte Ackermann durch das ε-Axiom von Hilbert,[1] ein Axiomenschema in einer durch das Prädikat   erweiterten Sprache:

  • Jede nichtleere Klasse enthält ein ausgewähltes Element:
Für einstellige Prädikate   gilt:
 

Das Fundierungsaxiom berücksichtigte Ackermann nicht.

VariantenBearbeiten

Ackermann formulierte auch Axiome, die Cantors Objekte der Anschauung aus dessen Mengendefinition berücksichtigen und außer Mengen auch Nichtmengen als Mengenelemente vorsehen. Objekte sind Mengenelemente und werden über ein definierbares Prädikat erfasst:

 .
  • Klassen-Komprehension: Klassen von Objekten sind existent:
Für einstellige Prädikate   gilt:
 
  • Klassen-Extensionalität wie oben.
Nota bene: Objekte, die keine Mengen sind, sind keine Urelemente im Sinne von Zermelo. Denn hier liegt die stärkste Form des Extensionalitätsaxioms vor, das nur eine einzige leere Klasse zulässt und keine weiteren leeren Urelemente. Zusätzliche Objekte sind also echte Klassen.
  • Mengen-Komprehension: Ausschließlich mit Objekten belegte Klassen von Objekten sind Mengen:
Für Formeln  , in der genau die Variablen   frei vorkommen und in der die Prädikate   und   nicht vorkommen, gilt:
   
  • Elemente und Teilklassen von Mengen sind Objekte:
 

Als dritte Variante gab Ackermann eine an die Typentheorie angelehnte Version an.

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. David Hilbert: Probleme der Grundlegung der Mathematik, 1929, in: Mathematische Annalen 102 (1930), 1–9, dort S. 3.