Aufkreuzungsungleichung

Formel in der Stochastik
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Die Aufkreuzungsungleichung, manchmal auch Upcrossing-Ungleichung oder Überquerungssatz von Doob[1] genannt (nach Joseph L. Doob), ist eine Ungleichung über das zeitliche Verhalten von Submartingalen in diskreter Zeit. Somit ist die Aussage der Theorie der stochastischen Prozesse und damit der Wahrscheinlichkeitstheorie zuzuordnen. Die Aufkreuzungsungleichung ist ein wichtiges Hilfsmittel, um die Martingalkonvergenzsätze und analoge Aussagen für Rückwärtsmartingale herzuleiten.

IdeeBearbeiten

Die grundlegende Idee besteht darin, sich das Submartingal als Aktienkurs vorzustellen. Fällt nun der Kurs unter den Wert  , so kauft man Aktien, steigt der Wert über  , so verkauft man. Weiß man nun, wie oft das Intervall   durchkreuzt wurde (also wie oft das Intervall von unten nach oben durchschritten wurde), so kann man aufgrund der Anzahl der Durchkreuzungen den Gesamtgewinn abschätzen. Genau diese Abschätzung trifft die Aufkreuzungsungleichung.

FormalisierungBearbeiten

Die Formulierung des Unterschreitens von   und Überschreitens von   funktioniert mittels Stoppzeiten. Man setzt für das Submartingal  

 

als Start,

 

als Zeitpunkt des k-ten Unterschreitens von   und

 

als Zeitpunkt des k-ten Überschreitens von  . Die Anzahl der Durchkreuzungen von   bis zum Zeitpunkt   ist dann gegeben durch

 .

Die Aufkreuzungsungleichung lautet nun

 

Ableitung von KonvergenzaussagenBearbeiten

Die Ableitung von Konvergenzaussagen folgt meist dem Schema, dass man

 

betrachtet. Kann man nun unter geeigneten Zusatzvoraussetzungen und der Aufkreuzungsungleichung zeigen, dass

 

gilt und der Prozess nach oben oder unten unbeschränkt ist, so muss sich der Prozess langfristig in dem Intervall   befinden, da er weder unendlich oft das Intervall durchkreuzen kann, noch den Bereich des Intervalls verlassen kann. Da dies aber für jedes   gilt, lässt sich zeigen, dass der Prozess konvergiert.

LiteraturBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Kusolitsch: Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie. 2014, S. 269.