Zentrierte Dreieckszahl

Eine zentrierte Dreieckszahl ist eine Zahl, die sich nach der Formel

19 Kugeln in Form ineinandergeschachtelter Dreiecke

${\frac {3n^{2}-3n+2}{2}}$

aus einer natürlichen Zahl $n$ berechnen lässt. Die ersten zentrierten Dreieckszahlen sind

1, 4, 10, 19, 31, 46, 64, 85, 109, 136, 166, … (Folge A005448 in OEIS)

Die zentrierten Dreieckszahlen gehören wie die zentrierten Quadratzahlen sowie die zentrierten Fünf- und Sechseckszahlen zu den zentrierten Polygonalzahlen, also zu den ebenen figurierten Zahlen.

Die zentrierten Dreieckszahlen beziffern nämlich die Anzahl von Steinchen, um ein Dreieck nach folgender Vorschrift zu legen: Es befindet sich ein Steinchen im Zentrum und um dieses werden in dreiecksförmigen Schichten mit steigender Seitenlänge weitere Steinchen angeordnet. Die Anzahl der Steinchen in einer solchen Anordnung mit $n$ Schichten wird als $(n+1)$-te zentrierte Dreieckszahl bezeichnet.

Für $n\geq 3$ lässt sich jede zentrierte Dreieckszahl als die Summe dreier aufeinanderfolgender normaler Dreieckszahlen $\Delta _{n-2}+\Delta _{n-1}+\Delta _{n}$ darstellen. Des Weiteren gilt, dass eine Ganzzahldivision einer beliebigen zentrierten Dreieckszahl $ZD_{n}$ durch 3 immer den Rest 1 ergibt und als Quotient die vorhergehende Dreieckszahl $\Delta _{n-1}$.

Die Summe der ersten n zentrierten Dreieckszahlen (n ≥ 3) ergibt die magische Konstante (Zeilensumme) eines magischen Quadrates der Zahlen 1 bis n².

Unendliche Summen und Produkte

Die unendliche Summe der Kehrwerte der zentrierten Dreieckszahlen ergibt diesen Wert:

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{ZD_{n}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2}{3n^{2}-3n+2}}={\frac {2}{\sqrt {15}}}\pi \tanh {\bigl (}{\frac {1}{6}}{\sqrt {15}}\pi {\bigr )}$

Das unendliche Produkt von den Quotienten der verdoppelten zentrierten Dreieckszahlen dividiert durch die zentrierten Sechseckszahlen an denselben Positionen ergibt jenen Wert:

$\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {2ZD_{n}}{ZS_{n}}}=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {3n^{2}-3n+2}{3n^{2}-3n+1}}=\operatorname {sech} {\bigl (}{\frac {1}{6}}{\sqrt {3}}\pi {\bigr )}\cosh {\bigl (}{\frac {1}{6}}{\sqrt {15}}\pi {\bigr )}$

Zentrierte Dreiecksprimzahlen

Eine zentrierte Dreieckszahl, die eine Primzahl ist, wird als zentrierte Dreiecksprimzahl bezeichnet. Die ersten zentrierten Dreiecksprimzahlen lauten:

19, 31, 109, 199, 409, … (Folge A125602 in OEIS)

Siehe auch

• Polygonalzahl

Literatur

• Lancelot Hogben: Mathematik für alle. Eine Einführung in die Wissenschaft der Zahlen und Figuren. Neu überarbeitete Ausgabe. Pawlak, Herrsching 1985, ISBN 3-88199-208-1, S. 151 ff.

Weblinks

• Eric W. Weisstein: centered triangular number. In: MathWorld (englisch).