Verschobene Pareto-Verteilung
Die verschobene Pareto-Verteilung, auch Lomax-Verteilung genannt, ist eine in der mathematischen Statistik betrachtete Wahrscheinlichkeitsverteilung, die besonders zur Modellierung von Großschäden geeignet ist, insbesondere bei Industrie- und Rückversicherungen. Mathematisch handelt es sich hierbei um eine Pareto-Verteilung, deren Verteilungskurve um einen festen Parameterwert verschoben ist, woraus sich der Name dieser Verteilung ableitet.
Definition Bearbeiten
Eine stetige Zufallsvariable genügt der verschobenen Pareto-Verteilung mit den Parametern und , wenn sie die Wahrscheinlichkeitsdichte
besitzt. Hierbei ist ein Skalenparameter der Verteilung.
Eigenschaften Bearbeiten
Verteilungsfunktion Bearbeiten
Die Verteilungsfunktion ist für gegeben durch
- .
Insbesondere gilt damit für die Überlebensfunktion: .
Erwartungswert Bearbeiten
Der Erwartungswert ergibt sich zu:
Varianz Bearbeiten
Die Varianz ist angebbar als
Standardabweichung Bearbeiten
Aus Erwartungswert und Varianz ergibt sich die Standardabweichung
Variationskoeffizient Bearbeiten
Aus Erwartungswert und Varianz erhält man den Variationskoeffizienten
Schiefe Bearbeiten
Für die Schiefe resultiert
Charakteristische Funktion Bearbeiten
Die charakteristische Funktion ist für die verschobene Pareto-Verteilung nicht in geschlossener Form angebbar.
Momenterzeugende Funktion Bearbeiten
Die momenterzeugende Funktion ist für die verschobene Pareto-Verteilung nicht in geschlossener Form angebbar.
Literatur Bearbeiten
- Klaus Jürgen Schröter: Verfahren zur Approximation der Gesamtschadenverteilung: Systematisierung, Techniken und Vergleiche. Band 1 von Karlsruher Reihe, Beiträge zur Versicherungswissenschaft, Verlag Versicherungswirtsch., 1995, ISBN 978-3-88487-471-4, S. 35.