Satz von Moivre-Laplace

Der Satz von Moivre-Laplace, auch Grenzwertsatz von de Moivre-Laplace oder zentraler Grenzwertsatz von de Moivre-Laplace genannt, ist ein Satz aus der Wahrscheinlichkeitstheorie. Nach diesem Satz konvergiert die Binomialverteilung für $n\rightarrow \infty$ und Wahrscheinlichkeiten $0<p<1$ gegen die Normalverteilung. Bei großem Stichprobenumfang kann daher die Normalverteilung als Näherung der Binomialverteilung verwendet werden, was insbesondere bei der Normal-Approximation und bei Hypothesentests Anwendung findet. Für $p={\tfrac {1}{2}}$ kann diese Approximation durch das Galtonbrett experimentell veranschaulicht werden.

Mit wachsender Zahl von Punkten nähert sich die diskrete Binomialverteilung der stetigen Normalverteilung an.

Beim Satz von de Moivre-Laplace handelt es sich aus historischer Sicht um den ersten zentralen Grenzwertsatz. Im Jahre 1730 zeigte Abraham de Moivre die Aussage für $p={\tfrac {1}{2}}$ und im Jahre 1812 wurde von Pierre-Simon Laplace der allgemeine Fall gezeigt.

Aussage

Sei $X_{1},X_{2},X_{3},\cdots$ eine Folge stochastisch unabhängiger und identisch bernoulli-verteilter Zufallsvariablen mit dem Parameter $p\in (0,1)$. Dann ist die Summe $S_{n}=\sum _{i=1}^{n}X_{i}$ binomialverteilt mit den Parametern $n\in \mathbb {N}$ und $p\in (0,1)$. Die Zufallsvariable $S_{n}$ hat den Erwartungswert $\mu _{n}:=\operatorname {E} [S_{n}]=np$ und die positive Standardabweichung $\sigma _{n}:={\sqrt {\operatorname {Var} [S_{n}]}}={\sqrt {np(1-p)}}$. $\Phi$ bezeichne die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung und $\varphi _{\mu ,\sigma ^{2}}$ bezeichne die Dichtefunktion einer normalverteilten Zufallsvariablen mit dem Erwartungswert $\mu$ und der Varianz $\sigma ^{2}$.

Dann gelten der lokale Grenzwertsatz von de Moivre-Laplace

$\lim _{n\to \infty }{\frac {\operatorname {P} (S_{n}=k)}{\varphi _{\mu _{n},\sigma _{n}^{2}}(k)}}=1,\quad k=0,1,\dots ,n$

und der globale Grenzwertsatz von de Moivre-Laplace

$\lim _{n\to \infty }\operatorname {P} \left({\frac {S_{n}-\mu _{n}}{\sigma _{n}}}\leq t\right)=\Phi (t)\quad {\text{für alle }}t\in \mathbb {R} \;.$

Interpretation und Anwendung

Der lokale Grenzwertsatz von de Moivre-Laplace besagt, dass die Wahrscheinlichkeiten einer binomialverteilten Zufallsvariablen für $n\to \infty$ gegen die Werte der Dichtefunktion einer normalverteilten Zufallsvariablen mit demselben Erwartungswert und derselben Varianz konvergieren. Er dient zur Rechtfertigung der Approximation

$\operatorname {P} \left(S_{n}=k\right)\approx {\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma _{n}}}\exp \left(-\left({\frac {k-\mu _{n}}{\sigma _{n}}}\right)^{2}\right)=\varphi _{\mu _{n},\sigma _{n}^{2}}(k),\quad k=0,1,\dots ,n\;,$

wobei auf der rechten Seite des Approximationszeichens die Dichtefunktion einer Zufallsvariablen mit der Normalverteilung ${\mathcal {N}}(\mu _{n},\sigma _{n}^{2})$ an der Stelle $k$ steht.

Der globale Grenzwertsatz von de Moivre-Laplace ist ein spezieller zentraler Grenzwertsatz, der besagt, dass die standardisierten Zufallsvariablen ${\frac {S_{n}-\mu _{n}}{\sigma _{n}}}$ für $n\to \infty$ in Verteilung gegen die Standardnormalverteilung konvergieren. Er wird auch in der Form

$\lim _{n\to \infty }\left|\operatorname {P} (S_{n}\leq t)-\Phi \left({\frac {t-\mu _{n}}{\sigma _{n}}}\right)\right|=0\quad \quad {\text{für alle }}t\in \mathbb {R}$

angegeben, die die theoretische Grundlage der Normal-Approximation ist.

→ Hauptartikel: Normal-Approximation

Dies ist eine Methode, mit der Wahrscheinlichkeitsaussagen für eine Binomialverteilung durch Wahrscheinlichkeitsaussagen für eine Normalverteilung mit demselben Erwartungswert und derselben Varianz approximiert werden können. Ausgehend von der Approximation $\mathrm {Bin} (n,p)\approx {\mathcal {N}}(\mu _{n},\sigma _{n}^{2})$ kann die Verteilungsfunktion der binomialverteilten Zufallsvariable $S_{n}$ mit Hilfe der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung angenähert werden, in dem man die Approximation

$P(S_{n}\leq k)\approx \Phi \left({\frac {k-\mu _{n}}{\sigma _{n}}}\right)$

verwendet. Bei der Normal-Approximation wird zur Verringerung des Näherungsfehlers noch zusätzlich eine sogenannte Stetigkeitskorrektur eingeführt, die den Fehler kompensieren soll, der durch den Übergang von einer diskreten zu einer stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilung verursacht wird.

Literatur

• Hans Fischer: A History of the Central Limit Theorem – From Classical to Modern Probability Theorem (= Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences). Springer, New York / Dordrecht / Heidelberg / London 2011, ISBN 978-0-387-87857-7. 
• Norbert Henze: Stochastik für Einsteiger. Eine Einführung in die faszinierende Welt des Zufalls. 13., überarbeitete und aktualisierte Auflage. Springer Spektrum, Berlin 2021, ISBN 978-3-662-63839-2, S. 226–232, doi:10.1007/978-3-662-63840-8. 
• Ulrich Krengel: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 7. Auflage. Vieweg-Verlag, Wiesbaden 2003, ISBN 3-528-67259-5, doi:10.1007/978-3-322-93581-6, S. 80–83.
• P. H. Müller (Hrsg.): Lexikon der Stochastik – Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik. 5. Auflage. Akademie-Verlag, Berlin 1991, ISBN 978-3-05-500608-1, Zentraler Grenzwertsatz (central limit theorem), S. 507–509. 

Weblinks

Wikibooks: Beweis des Satzes von Moivre-Laplace

• Binomial- und Normalverteilung – Online-Lehrgang mit dynamischen Arbeitsblättern (Java-Plugin benötigt)