Potenzregel

Die Potenzregel ist in der Mathematik eine der Grundregeln der Differentialrechnung. Sie dient der Ermittlung der Ableitung von Potenzfunktionen.

Definition und Geltungsbereich

Funktionen der Gestalt $f(x)=x^{n}$ sind für $x\in \mathbb {R}$ differenzierbar. Ihre Ableitung ist $f'(x)=n\cdot x^{n-1}$. Dies gilt für $n\in \{2,3,4,\ldots {}\}$ und $x\in \mathbb {R}$.

Beispielsweise hat die Funktion $f(x)=x^{4}$ die Ableitung $f'(x)=4\cdot x^{3}$.

Die Potenzregel behält ihre Gültigkeit für $n=1$ an der Stelle $x=0$ nur, wenn man $0^{0}:=1$ setzt.

Die Potenzregel gilt für $n\in \{-1,-2,-3,\ldots {}\}$ nur für $x\in \mathbb {R} \setminus \{0\}$, da sonst eine Division durch 0 aufträte.

Die Potenzregel gilt auch für Potenzfunktionen $f(x)=x^{s}$, wenn der Exponent (Hochzahl) $s\in \mathbb {R}$ keine ganze Zahl ist, dann aber nur im Bereich $x\in \mathbb {R} ,x>0$:

$f'(x)=s\cdot x^{s-1}$

Herleitung

1. Fall: Der Exponent ist eine natürliche Zahl

Die Ableitung einer Potenzfunktion $f(x)=x^{n}$ an der Stelle $x$ ist der Grenzwert

${\frac {d(x^{n})}{dx}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {(x+\Delta x)^{n}-x^{n}}{\Delta x}}$.

Nach dem binomischen Lehrsatz ist dies gleich

$\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {x^{n}+{n \choose 1}x^{n-1}{\Delta x}+{n \choose 2}x^{n-2}(\Delta x)^{2}+\dots +{n \choose n-1}x(\Delta x)^{n-1}+{n \choose n}(\Delta x)^{n}-x^{n}}{\Delta x}}$.

Daraus folgt dann die Potenzregel:

${\begin{aligned}{\frac {d(x^{n})}{dx}}&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {{n \choose 1}x^{n-1}{\Delta x}+{n \choose 2}x^{n-2}(\Delta x)^{2}+\dots +{n \choose n-1}x(\Delta x)^{n-1}+{n \choose n}{\Delta x}^{n}}{\Delta x}}\\&=\lim _{\Delta x\to 0}\left[{n \choose 1}x^{n-1}+{n \choose 2}x^{n-2}{\Delta x}+\dots +{n \choose n-1}x(\Delta x)^{n-2}+{n \choose n}(\Delta x)^{n-1}\right]\\&={n \choose 1}x^{n-1}\\&=n\cdot x^{n-1}.\end{aligned}}$

Bildlich veranschaulicht wächst ein 'n-dimensionaler Würfel' in genau n Richtungen (entlang den n Koordinatenachsen) um '(n-1)-dimensionale Würfel' an. Ein Quadrat wächst (bzw. kristallisiert) also marginal um 2 Seitenlinien, und ein Würfel wächst um 3 Quadrate.

2. Fall: Beliebiger (komplexer) Exponent

Der Exponent $s$ kann eine nicht ganzzahlige oder sogar komplexe Zahl sein. In diesem Fall ist die Funktion $f:x\mapsto x^{s}$ jedoch in der Regel nur für $x\in \mathbb {R} ,x>0$ definiert. In diesem Definitionsbereich ist die Funktion differenzierbar und die Potenzregel gilt weiterhin.

Um dies zu demonstrieren, benutzt man die Darstellung mithilfe der Exponentialfunktion: $x^{s}=(e^{\ln x})^{s}=e^{s\cdot \ln x}$ und leitet mithilfe der Kettenregel und der Ableitungsregel für die Exponentialfunktion ab:

${\frac {d(x^{s})}{dx}}={\frac {d(e^{s\cdot \ln x})}{dx}}=e^{s\cdot \ln x}\cdot {\frac {d(s\cdot \ln x)}{dx}}$

Für die innere Ableitung benutzt man die Faktorregel und die Regel für die Ableitung der Logarithmusfunktion:

${\frac {d(s\cdot \ln x)}{dx}}=s\cdot {\frac {1}{x}}$

Indem man dies einsetzt und für $e^{s\cdot \ln x}$ wieder $x^{s}$ schreibt, erhält man

${\frac {d(x^{s})}{dx}}=x^{s}\cdot s\cdot {\frac {1}{x}}=s\cdot x^{s-1}$

Diese Herleitung gilt nur für $x\neq 0$. Für $s>1$ ist die Funktion $f(x)=x^{s}$ aber auch an der Stelle $x=0$ differenzierbar und die Regel gilt auch an der Stelle $x=0$. Man berechnet direkt mithilfe des Differenzenquotienten:

$f'(0)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {(\Delta x)^{s}-0^{s}}{\Delta x-0}}=\lim _{\Delta x\to 0}(\Delta x)^{s-1}=0=s\cdot 0^{s-1}$

Höhere Ableitung einer Potenzfunktion mit natürlichem Exponenten

(Zur Schreibweise des Folgenden siehe Leibniz-Notation.) Innerhalb des Definitionsbereichs einer Potenzfunktion mit natürlichem Exponenten $n$ ist deren $k$-fache Ableitung...

• ...für $1\leq k\leq n:\quad {\frac {d^{k}}{dx^{k}}}x^{n}={\frac {n!}{(n-k)!}}\cdot x^{n-k}$.

Beweis

Die Behauptung lässt sich für $k\leq n$ mit vollständiger Induktion beweisen. Induktionsanfang für $k=1:\quad {\frac {d}{dx}}x^{n}=n\cdot x^{n-1}={\frac {n!}{(n-1)!}}x^{n-1}$ (wahr) Induktionsvoraussetzung: $\quad \quad {\frac {d^{k}}{dx^{k}}}x^{n}={\frac {n!}{(n-k)!}}\cdot x^{n-k}$ Induktionsbehauptung: $\quad \quad \quad {\frac {d^{k+1}}{dx^{k+1}}}x^{n}={\frac {n!}{(n-k-1)!}}\cdot x^{n-k-1}$ Induktionsschritt: $\quad {\frac {d^{k+1}}{dx^{k+1}}}x^{n}=$ Die $(k+1)$-te Ableitung ist die Ableitung der $k$-ten Ableitung: $\quad {\frac {d}{dx}}{\frac {d^{k}}{dx^{k}}}x^{n}=$ mit der Induktionsvoraussetzung: $\quad {\frac {d}{dx}}{\frac {n!}{(n-k)!}}\cdot x^{n-k}=$ $\quad {\frac {n!}{(n-k)!}}\cdot (n-k)\cdot x^{n-k-1}=$ $\quad {\frac {n!}{(n-k-1)!}}\cdot x^{n-k-1}$, q. e. d.

Für manche Anwendungen ist es praktisch, eine Funktion als $0$-te Ableitung ihrer selbst zu definieren. Wie leicht zu sehen ist, gilt dann die Regel für $k=0$ ebenfalls.

Für $k=n$ ist insbesondere ${\frac {d^{n}}{dx^{n}}}x^{n}=n!$

• ...für $k>n:\quad {\frac {d^{k}}{dx^{k}}}x^{n}=0$

Dies folgt direkt aus ${\frac {d^{n}}{dx^{n}}}x^{n}=n!$, denn die Ableitung einer beliebigen konstanten Funktion ist die Nullfunktion; letzteres gilt auch für die Nullfunktion selbst.