Integraldarstellungen
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Eine mögliche Integraldarstellung lautet
Φ
(
z
,
s
,
a
)
=
1
Γ
(
s
)
∫
0
∞
t
s
−
1
e
−
a
t
1
−
z
e
−
t
d
t
{\displaystyle \Phi (z,s,a)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {t^{s-1}\mathrm {e} ^{-at}}{1-z\,\mathrm {e} ^{-t}}}\,\mathrm {d} t\qquad \quad }
{
R
e
a
>
0
und
R
e
s
>
0
und
z
<
1
oder
R
e
a
>
0
und
R
e
s
>
1
und
z
=
1
{\displaystyle {\begin{cases}&\mathrm {Re} \;a>0{\text{ und }}\mathrm {Re} \;s>0{\text{ und }}z<1\\{\text{oder }}&\mathrm {Re} \;a>0{\text{ und }}\mathrm {Re} \;s>1{\text{ und }}z=1\end{cases}}}
Das Kurvenintegral
Φ
(
z
,
s
,
a
)
=
−
Γ
(
1
−
s
)
2
π
i
∫
0
∞
(
−
t
)
s
−
1
e
−
a
t
1
−
z
e
−
t
d
t
{\displaystyle \Phi (z,s,a)=-{\frac {\Gamma (1-s)}{2\,\pi \,i}}\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {(-t)^{s-1}\mathrm {e} ^{-a\,t}}{1-z\,\mathrm {e} ^{-t}}}\,\mathrm {d} t}
mit
R
e
a
>
0
,
R
e
s
<
0
,
z
<
1
{\displaystyle \mathrm {Re} \;a>0,\;\mathrm {Re} \;s<0,\;z<1}
t
=
log
z
+
2
k
π
i
,
k
∈
Z
{\displaystyle t=\log z+2\,k\,\pi \,i,\;k\in \mathbb {Z} }
Ferner ist
Φ
(
z
,
s
,
a
)
=
1
2
a
s
+
∫
0
∞
z
t
(
a
+
t
)
s
d
t
+
2
a
s
−
1
∫
0
∞
sin
(
s
arctan
t
−
a
t
log
z
)
(
1
+
t
2
)
s
/
2
⋅
(
e
2
π
a
t
−
1
)
d
t
{\displaystyle \Phi (z,s,a)={\frac {1}{2\,a^{s}}}+\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {z^{t}}{(a+t)^{s}}}\,\mathrm {d} t+{\frac {2}{a^{s-1}}}\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {\sin(s\arctan t-a\,t\log z)}{(1+t^{2})^{s/2}\cdot (\mathrm {e} ^{2\,\pi \,a\,t}-1)}}\,\mathrm {d} t}
für
R
e
a
>
0
{\displaystyle \mathrm {Re} \;a>0}
|
z
|
<
1
{\displaystyle |z|<1}
Ebenso ist
Φ
(
z
,
s
,
a
)
=
1
2
a
s
+
log
s
−
1
1
z
z
a
Γ
(
1
−
s
,
a
log
1
z
)
+
2
a
s
−
1
∫
0
∞
sin
(
s
arctan
t
−
a
t
log
z
)
(
1
+
t
2
)
s
/
2
⋅
(
e
2
π
a
t
−
1
)
d
t
{\displaystyle \Phi (z,s,a)={\frac {1}{2\,a^{s}}}+{\frac {\log ^{s-1}{\dfrac {1}{z}}}{z^{a}}}\,\Gamma (1-s,a\log {\dfrac {1}{z}})+{\frac {2}{a^{s-1}}}\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {\sin(s\arctan t-a\,t\log z)}{(1+t^{2})^{s/2}\cdot (\mathrm {e} ^{2\,\pi \,a\,t}-1)}}\,\mathrm {d} t}
für
R
e
a
>
0
{\displaystyle \mathrm {Re} \,a>0}
Eine Reihendarstellung für die Lerchsche Zeta-Funktion ist
Φ
(
z
,
s
,
q
)
=
1
1
−
z
∑
n
=
0
∞
(
−
z
1
−
z
)
n
∑
k
=
0
n
(
−
1
)
k
(
n
k
)
(
q
+
k
)
−
s
.
{\displaystyle \Phi (z,s,q)={\frac {1}{1-z}}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {-z}{1-z}}\right)^{n}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}(q+k)^{-s}.}
Sie gilt für alle
s
{\displaystyle s}
komplexe
z
{\displaystyle z}
R
e
z
<
1
2
{\displaystyle \mathrm {Re} \,z<{\tfrac {1}{2}}}
Reihendarstellung der hurwitzschen Zeta-Funktion .
Falls
s
{\displaystyle s}
Φ
(
z
,
n
,
a
)
=
z
−
a
{
∑
k
=
0
k
≠
n
−
1
∞
ζ
(
n
−
k
,
a
)
log
k
z
k
!
+
[
Ψ
(
n
)
−
Ψ
(
a
)
−
log
(
−
log
z
)
]
log
n
−
1
z
(
n
−
1
)
!
}
.
{\displaystyle \Phi (z,n,a)=z^{-a}\left\{\sum _{{k=0} \atop k\neq n-1}^{\infty }\zeta (n-k,a){\frac {\log ^{k}z}{k!}}+\left[\Psi (n)-\Psi (a)-\log(-\log z)\right]{\frac {\log ^{n-1}z}{(n-1)!}}\right\}.}
Eine Taylorreihe der dritten Variablen ist durch
Φ
(
z
,
s
,
a
+
x
)
=
∑
k
=
0
∞
Φ
(
z
,
s
+
k
,
a
)
(
s
,
k
)
(
−
x
)
k
k
!
{\displaystyle \Phi (z,s,a+x)=\sum _{k=0}^{\infty }\Phi (z,s+k,a)(s,k){\frac {(-x)^{k}}{k!}}}
für
|
x
|
<
R
e
a
{\displaystyle |x|<\mathrm {Re} \,a}
Pochhammer-Symbol
(
s
,
k
)
{\displaystyle (s,k)}
Im Grenzwert
a
→
−
n
{\displaystyle a\rightarrow -n}
Φ
(
z
,
s
,
a
)
=
∑
k
=
0
n
z
k
(
a
+
k
)
s
+
z
n
∑
m
=
0
∞
(
1
−
m
−
s
,
m
)
L
i
s
+
m
(
z
)
(
a
+
n
)
m
m
!
{\displaystyle \Phi (z,s,a)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {z^{k}}{(a+k)^{s}}}+z^{n}\sum _{m=0}^{\infty }(1-m-s,m)\,\mathrm {Li} _{s+m}(z){\frac {(a+n)^{m}}{m!}}}
Der Spezialfall
n
=
0
{\displaystyle n=0}
Φ
(
z
,
s
,
a
)
=
1
a
s
+
∑
m
=
0
∞
(
1
−
m
−
s
,
m
)
L
i
s
+
m
(
z
)
a
m
m
!
{\displaystyle \Phi (z,s,a)={\frac {1}{a^{s}}}+\sum _{m=0}^{\infty }(1-m-s,m)\,\mathrm {Li} _{s+m}(z){\frac {a^{m}}{m!}}}
für
|
a
|
<
1
{\displaystyle |a|<1}
Die asymptotische Entwicklung für
s
→
−
∞
{\displaystyle s\rightarrow -\infty }
Φ
(
z
,
s
,
a
)
=
z
−
a
Γ
(
1
−
s
)
∑
k
=
−
∞
∞
[
2
k
π
i
−
log
z
]
s
−
1
e
2
k
π
a
i
{\displaystyle \Phi (z,s,a)=z^{-a}\,\Gamma (1-s)\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left[2\,k\,\pi \,i-\log z\right]^{s-1}\mathrm {e} ^{2\,k\,\pi \,a\,i}}
für
|
a
|
<
1
,
R
e
s
<
0
,
z
∉
(
−
∞
,
0
)
{\displaystyle |a|<1,\;\mathrm {Re} \;s<0,\;z\notin (-\infty ,0)}
Φ
(
−
z
,
s
,
a
)
=
z
−
a
Γ
(
1
−
s
)
∑
k
=
−
∞
∞
[
(
2
k
+
1
)
π
i
−
log
z
]
s
−
1
e
(
2
k
+
1
)
π
a
i
{\displaystyle \Phi (-z,s,a)=z^{-a}\,\Gamma (1-s)\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left[(2\,k+1)\pi \,i-\log z\right]^{s-1}\mathrm {e} ^{(2\,k+1)\pi \,a\,i}}
wenn
|
a
|
<
1
,
R
e
s
<
0
,
z
∉
(
0
,
∞
)
{\displaystyle |a|<1,\;\mathrm {Re} \,s<0,\;z\notin (0,\infty )}
Unter Verwendung der unvollständigen Gammafunktion gilt
Φ
(
z
,
s
,
a
)
=
1
2
a
s
+
1
z
a
∑
k
=
1
∞
e
−
2
π
i
(
k
−
1
)
a
Γ
(
1
−
s
,
a
(
−
2
π
i
(
k
−
1
)
−
log
z
)
)
(
−
2
π
i
(
k
−
1
)
−
log
z
)
1
−
s
+
e
2
π
i
k
a
Γ
(
1
−
s
,
a
(
2
π
i
k
−
log
z
)
)
(
2
π
i
k
−
log
z
)
1
−
s
{\displaystyle \Phi (z,s,a)={\frac {1}{2\,a^{s}}}+{\frac {1}{z^{a}}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\mathrm {e} ^{-2\,\pi \,i\,(k-1)a}\,\Gamma (1-s,a\,(-2\,\pi \,i\,(k-1)-\log z))}{(-2\,\pi \,i\,(k-1)-\log z)^{1-s}}}+{\frac {\mathrm {e} ^{2\,\pi \,i\,k\,a}\,\Gamma (1-s,a\,(2\,\pi \,i\,k-\log z))}{(2\,\pi \,i\,k-\log z)^{1-s}}}}
mit
|
a
|
<
1
{\displaystyle |a|<1}
R
e
s
<
0
{\displaystyle \mathrm {Re} \,s<0}
Identitäten und weitere Formeln
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Φ
(
z
,
s
,
a
)
=
z
n
Φ
(
z
,
s
,
a
+
n
)
+
∑
k
=
0
n
−
1
z
k
(
k
+
a
)
s
{\displaystyle \Phi (z,s,a)=z^{n}\,\Phi (z,s,a+n)+\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {z^{k}}{(k+a)^{s}}}}
Φ
(
z
,
s
−
1
,
a
)
=
(
a
+
z
∂
∂
z
)
Φ
(
z
,
s
,
a
)
{\displaystyle \Phi (z,s-1,a)=\left(a+z{\frac {\partial }{\partial z}}\right)\Phi (z,s,a)}
Φ
(
z
,
s
+
1
,
a
)
=
−
1
s
∂
∂
a
Φ
(
z
,
s
,
a
)
{\displaystyle \Phi (z,s+1,a)=-\,{\frac {1}{s}}\,{\frac {\partial }{\partial a}}\Phi (z,s,a)}
Ferner gilt für die Integraldarstellung mit
{
z
∈
C
∖
[
1
,
∞
)
und
R
e
s
>
−
2
}
{\displaystyle \{z\in \mathbb {C} \,\setminus [1,\infty ){\text{ und }}\mathrm {Re} \;s>-2\}}
{
z
=
1
und Re
s
>
−
1
}
{\displaystyle \{z=1{\text{ und Re}}\;s>-1\}}
[2]
∫
0
1
∫
0
1
x
u
−
1
⋅
y
v
−
1
1
−
x
y
z
(
−
log
(
x
y
)
)
s
d
x
d
y
=
Γ
(
s
+
1
)
Φ
(
z
,
s
+
1
,
v
)
−
Φ
(
z
,
s
+
1
,
u
)
u
−
v
{\displaystyle \int \limits _{0}^{1}\int \limits _{0}^{1}{\frac {x^{u-1}\cdot y^{v-1}}{1-x\,y\,z}}(-\log(x\,y))^{s}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=\Gamma (s+1)\,{\frac {\Phi (z,s+1,v)-\Phi (z,s+1,u)}{u-v}}}
und
∫
0
1
∫
0
1
(
x
y
)
u
−
1
1
−
x
y
z
(
−
log
(
x
y
)
)
s
d
x
d
y
=
Γ
(
s
)
Φ
(
z
,
s
+
2
,
u
)
{\displaystyle \int \limits _{0}^{1}\int \limits _{0}^{1}{\frac {(x\,y)^{u-1}}{1-x\,y\,z}}(-\log(x\,y))^{s}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=\Gamma (s)\,\Phi (z,s+2,u)}
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\Phi (-1,2,{\tfrac {1}{2}})&=&\;4\,G\\&{\frac {\partial \Phi }{\partial s}}(-1,-1,1)&=&\;\log \left({\frac {A^{3}}{{\sqrt[{3}]{2}}\,{\sqrt[{4}]{\mathrm {e} }}}}\right)\\&{\frac {\partial \Phi }{\partial s}}(-1,-2,1)&=&\;{\frac {7\,\zeta (3)}{4\,\pi ^{2}}}\\&{\frac {\partial \Phi }{\partial s}}(-1,-1,{\tfrac {1}{2}})&=&\;{\frac {G}{\pi }}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/604103b7e47a2180ac4304d0b2d034077e64001f)
![{\displaystyle \Phi (z,n,a)=z^{-a}\left\{\sum _{{k=0} \atop k\neq n-1}^{\infty }\zeta (n-k,a){\frac {\log ^{k}z}{k!}}+\left[\Psi (n)-\Psi (a)-\log(-\log z)\right]{\frac {\log ^{n-1}z}{(n-1)!}}\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b54a52635ff1519524a9ae99a5060e01582e8f1)
![{\displaystyle \Phi (z,s,a)=z^{-a}\,\Gamma (1-s)\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left[2\,k\,\pi \,i-\log z\right]^{s-1}\mathrm {e} ^{2\,k\,\pi \,a\,i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb3db0d7fc935e69ada0183b6c210d447063a525)
![{\displaystyle \Phi (-z,s,a)=z^{-a}\,\Gamma (1-s)\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left[(2\,k+1)\pi \,i-\log z\right]^{s-1}\mathrm {e} ^{(2\,k+1)\pi \,a\,i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9b2d27d83c654da931d25e9d408a9edc0617f42)
