Ein komplexes Maß ist eine Art Verallgemeinerung des Maßes aus dem mathematischen Teilgebiet der Maßtheorie. Es ist wie das Maß eine Funktion, die von einem Mengensystem, meist einer σ-Algebra, abbildet. Das komplexe Maß lässt jedoch als Wertebereich die komplexen Zahlen zu, d. h.

für ein Mengensystem .

Definition Bearbeiten

Sei   eine nichtleere Menge und   eine Teilmenge der Potenzmenge von   mit  .

Eine Mengenfunktion   von   in die komplexen Zahlen   heißt komplexes Maß, wenn

 

und für jede disjunkte Familie   mit   und  

 

gilt, wobei die Reihe   absolut konvergieren muss, das heißt  . Letztere Eigenschaft wird auch als  -Additivität bezeichnet.

In den meisten Anwendungen ist das Mengensystem   eine σ-Algebra, dann ist   immer in   enthalten.

Eigenschaften Bearbeiten

Jedes endliche (Prä)Maß ist ein komplexes Maß, wenn man den reellen Bildbereich des Maßes in die komplexen Zahlen einbettet.

Für ein komplexes Maß sind offensichtlich Real- und Imaginärteil signierte Maße. Da jedes signierte Maß als Differenz zweier positiver Maße geschrieben werden kann (Hahn-Jordan-Zerlegung), kann jedes komplexe Maß als Linearkombination von vier positiven Maßen geschrieben werden.

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • Walter Rudin: Reelle und komplexe Analysis. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, München 1999, ISBN 3-486-24789-1, Kap. 6.