Die eulersche Differentialgleichung (nach Leonhard Euler ) ist eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung höherer Ordnung mit nicht-konstanten Koeffizienten der speziellen Form
∑
k
=
0
N
a
k
(
c
x
+
d
)
k
y
(
k
)
(
x
)
=
b
(
x
)
,
c
x
+
d
>
0
{\displaystyle \sum _{k=0}^{N}a_{k}\,(cx+d)^{k}\;y^{(k)}(x)=b(x)\ ,\ cx+d>0}
zu gegebenen
N
∈
N
,
a
0
,
…
,
a
N
,
c
,
d
∈
R
,
c
≠
0
{\displaystyle N\in \mathbb {N} ,\ a_{0},\ldots ,a_{N},c,d\in \mathbb {R} ,\ c\neq 0}
b
{\displaystyle b}
Fundamentalsystem der homogenen Lösung, so kann man mit dem Verfahren der Variation der Konstanten die allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung bestimmen. Daher braucht nur
b
≡
0
{\displaystyle b\equiv 0}
Die eulersche Differentialgleichung wird mittels der Transformation
z
(
t
)
:=
y
(
e
t
−
d
c
)
{\displaystyle z(t):=y\left({\tfrac {e^{t}-d}{c}}\right)}
Motivation der Transformation
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Sei
y
{\displaystyle y}
z
(
x
)
:=
y
(
e
x
−
d
c
)
{\displaystyle z(x):=y\left({\frac {e^{x}-d}{c}}\right)}
y
(
x
)
=
z
(
ln
(
c
x
+
d
)
)
{\displaystyle \ y(x)=z(\ln(cx+d))}
Dann gilt
y
′
(
x
)
=
c
c
x
+
d
z
′
(
ln
(
c
x
+
d
)
)
,
y
″
(
x
)
=
c
2
(
c
x
+
d
)
2
z
″
(
ln
(
c
x
+
d
)
)
−
c
2
(
c
x
+
d
)
2
z
′
(
ln
(
c
x
+
d
)
)
,
{\displaystyle {\begin{array}{lll}y'(x)&=&{\frac {c}{cx+d}}z'(\ln(cx+d))\ ,\\y''(x)&=&{\frac {c^{2}}{(cx+d)^{2}}}z''(\ln(cx+d))-{\frac {c^{2}}{(cx+d)^{2}}}z'(\ln(cx+d))\ ,\\\end{array}}}
also
(
c
x
+
d
)
y
′
(
x
)
=
c
⋅
z
′
(
ln
(
c
x
+
d
)
)
,
(
c
x
+
d
)
2
y
″
(
x
)
=
c
2
⋅
[
z
″
−
z
′
]
(
ln
(
c
x
+
d
)
)
.
{\displaystyle {\begin{array}{lll}(cx+d)y'(x)&=&c\cdot z'(\ln(cx+d))\ ,\\(cx+d)^{2}y''(x)&=&c^{2}\cdot [z''-z'](\ln(cx+d))\ .\\\end{array}}}
Insofern würde sich die eulersche Differentialgleichung zweiter Ordnung in eine lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten transformieren.
Es stellen sich nun folgende Fragen:
Überführt diese Transformation auch die Terme höherer Ordnung
(
c
x
+
d
)
k
y
(
k
)
(
x
)
{\displaystyle (cx+d)^{k}y^{(k)}(x)}
Wie kann man die Koeffizienten auf der rechten Seite einfacher ausrechnen, ohne jedes Mal die Transformation genügend oft abzuleiten? Diese Fragen werden durch den folgenden Transformationssatz geklärt:
Der Transformationssatz
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Sei
z
{\displaystyle z}
∑
k
=
0
n
a
k
c
k
(
[
∏
j
=
0
k
−
1
(
d
d
x
−
j
)
]
z
)
(
x
)
=
0
.
{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}a_{k}c^{k}\left(\left[\prod _{j=0}^{k-1}\left({\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}-j\right)\right]z\right)(x)=0\ .}
Dann ist
y
(
x
)
:=
z
(
ln
(
c
x
+
d
)
)
{\displaystyle \ y(x):=z(\ln(cx+d))}
eine Lösung der (homogenen) eulerschen Differentialgleichung
∑
k
=
0
N
a
k
(
c
x
+
d
)
k
y
(
k
)
(
x
)
=
0
,
c
x
+
d
>
0
.
{\displaystyle \sum _{k=0}^{N}a_{k}(cx+d)^{k}y^{(k)}(x)=0\ ,\ cx+d>0\ .}
Erläuterung zur Notation
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Hierbei werden zunächst die Differentialoperatoren miteinander (vergleichbar dem Ausmultiplizieren) verknüpft, bevor sie auf eine Funktion angewandt werden, beispielsweise:
[
∏
j
=
0
−
1
(
d
d
x
−
j
)
]
z
=
z
,
{\displaystyle \left[\prod _{j=0}^{-1}\left({\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}-j\right)\right]z=z\ ,}
[
∏
j
=
0
0
(
d
d
x
−
j
)
]
z
=
(
d
d
x
−
0
)
z
=
z
′
,
{\displaystyle \left[\prod _{j=0}^{0}\left({\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}-j\right)\right]z=\left({\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}-0\right)z=z'\ ,}
[
∏
j
=
0
1
(
d
d
x
−
j
)
]
z
=
(
d
d
x
−
0
)
(
d
d
x
−
1
)
z
=
(
d
2
d
x
2
−
d
d
x
)
z
=
z
″
−
z
′
,
{\displaystyle \left[\prod _{j=0}^{1}\left({\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}-j\right)\right]z=\left({\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}-0\right)\left({\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}-1\right)z=\left({\frac {\rm {d^{2}}}{{\rm {d}}x^{2}}}-{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}\right)z=z''-z'\ ,}
[
∏
j
=
0
2
(
d
d
x
−
j
)
]
z
=
(
d
d
x
−
0
)
(
d
d
x
−
1
)
(
d
d
x
−
2
)
z
=
(
d
3
d
x
3
−
3
d
2
d
x
2
+
2
d
d
x
)
z
=
z
‴
−
3
z
″
+
2
z
′
.
{\displaystyle \left[\prod _{j=0}^{2}\left({\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}-j\right)\right]z=\left({\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}-0\right)\left({\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}-1\right)\left({\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}-2\right)z=\left({\frac {\rm {d^{3}}}{{\rm {d}}x^{3}}}-3{\frac {\rm {d^{2}}}{{\rm {d}}x^{2}}}+2{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}\right)z=z'''-3z''+2z'\ .}
Zu zeigen ist lediglich
c
k
(
[
∏
j
=
0
k
−
1
(
d
d
x
−
j
)
]
z
)
(
ln
(
c
x
+
d
)
)
=
(
c
x
+
d
)
k
y
(
k
)
(
x
)
{\displaystyle c^{k}\left(\left[\prod _{j=0}^{k-1}\left({\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}-j\right)\right]z\right)(\ln(cx+d))=(cx+d)^{k}y^{(k)}(x)}
k
∈
N
0
{\displaystyle k\in \mathbb {N} _{0}}
vollständiger Induktion . Der Induktionsanfang
k
=
0
{\displaystyle k=0}
k
0
∈
N
0
{\displaystyle k_{0}\in \mathbb {N} _{0}}
(
c
x
+
d
)
k
0
y
(
k
0
+
1
)
(
x
)
+
c
k
0
(
c
x
+
d
)
k
0
−
1
y
(
k
0
)
(
x
)
=
c
k
0
+
1
c
x
+
d
(
d
d
x
[
∏
j
=
0
k
0
−
1
(
d
d
x
−
j
)
]
z
)
(
ln
(
c
x
+
d
)
)
.
{\displaystyle (cx+d)^{k_{0}}y^{(k_{0}+1)}(x)+ck_{0}(cx+d)^{k_{0}-1}y^{(k_{0})}(x)={\frac {c^{k_{0}+1}}{cx+d}}\left({\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}\left[\prod _{j=0}^{k_{0}-1}\left({\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}-j\right)\right]z\right)(\ln(cx+d))\ .}
Anwenden der Induktionsvoraussetzung impliziert
(
c
x
+
d
)
k
0
+
1
y
(
k
0
+
1
)
(
x
)
=
c
k
0
+
1
(
d
d
x
[
∏
j
=
0
k
0
−
1
(
d
d
x
−
j
)
]
z
)
(
ln
(
c
x
+
d
)
)
−
c
k
0
(
c
x
+
d
)
k
0
y
(
k
0
)
(
x
)
=
c
k
0
+
1
(
d
d
x
[
∏
j
=
0
k
0
−
1
(
d
d
x
−
j
)
]
z
)
(
ln
(
c
x
+
d
)
)
−
c
k
0
+
1
k
0
(
[
∏
j
=
0
k
0
−
1
(
d
d
x
−
j
)
]
z
)
(
ln
(
c
x
+
d
)
)
=
c
k
0
+
1
(
[
∏
j
=
0
k
0
(
d
d
x
−
j
)
]
z
)
(
ln
(
c
x
+
d
)
)
.
{\displaystyle {\begin{array}{lll}(cx+d)^{k_{0}+1}y^{(k_{0}+1)}(x)&=&c^{k_{0}+1}\left({\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}\left[\prod _{j=0}^{k_{0}-1}\left({\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}-j\right)\right]z\right)(\ln(cx+d))-ck_{0}(cx+d)^{k_{0}}y^{(k_{0})}(x)\\&=&c^{k_{0}+1}\left({\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}\left[\prod _{j=0}^{k_{0}-1}\left({\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}-j\right)\right]z\right)(\ln(cx+d))\\&&\quad -c^{k_{0}+1}k_{0}\left(\left[\prod _{j=0}^{k_{0}-1}\left({\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}-j\right)\right]z\right)(\ln(cx+d))\\&=&c^{k_{0}+1}\left(\left[\prod _{j=0}^{k_{0}}\left({\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}-j\right)\right]z\right)(\ln(cx+d))\ .\\\end{array}}}
◻
{\displaystyle \Box }
Folgerung: Konstruktion eines Fundamentalsystems
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Die charakteristische Gleichung für die Differentialgleichung von
z
{\displaystyle z}
χ
(
λ
)
=
∑
k
=
0
n
a
k
c
k
∏
j
=
0
k
−
1
(
λ
−
j
)
=
0
.
{\displaystyle \chi (\lambda )=\sum _{k=0}^{n}a_{k}c^{k}\prod _{j=0}^{k-1}(\lambda -j)=0\ .}
Bezeichnen nun
λ
1
,
…
,
λ
M
{\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{M}}
χ
(
λ
)
{\displaystyle \chi (\lambda )}
R
j
{\displaystyle R_{j}}
λ
j
{\displaystyle \lambda _{j}}
{
z
j
,
k
(
x
)
=
e
λ
j
x
x
k
|
j
=
1
,
…
,
M
,
k
=
0
,
…
,
R
j
−
1
}
{\displaystyle \{z_{j,k}(x)=e^{\lambda _{j}x}x^{k}\ |\ j=1,\ldots ,M\ ,\ k=0,\ldots ,R_{j}-1\}}
ein Fundamentalsystem der Gleichung für
z
{\displaystyle z}
{
y
j
,
k
(
x
)
=
(
c
x
+
d
)
λ
j
[
ln
(
c
x
+
d
)
]
k
|
j
=
1
,
…
,
M
,
k
=
0
,
…
,
R
j
−
1
}
{\displaystyle \{y_{j,k}(x)=(cx+d)^{\lambda _{j}}[\ln(cx+d)]^{k}\ |\ j=1,\ldots ,M\ ,\ k=0,\ldots ,R_{j}-1\}}
ein Fundamentalsystem der (homogenen) eulerschen Differentialgleichung.
Gegeben sei die eulersche Differentialgleichung
a
2
x
2
y
″
(
x
)
+
a
1
x
y
′
(
x
)
+
a
0
y
(
x
)
=
0
,
a
2
≠
0
,
x
>
0
.
{\displaystyle a_{2}x^{2}y''(x)+a_{1}xy'(x)+a_{0}y(x)=0\ ,\ a_{2}\neq 0\ ,\ x>0\ .}
Zu lösen ist nach obigem Satz zunächst die folgende lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten
a
2
(
z
″
(
x
)
−
z
′
(
x
)
)
+
a
1
z
′
(
x
)
+
a
0
z
(
x
)
=
0
,
{\displaystyle a_{2}(z''(x)-z'(x))+a_{1}z'(x)+a_{0}z(x)=0\ ,}
also
a
2
z
″
(
x
)
+
(
a
1
−
a
2
)
z
′
(
x
)
+
a
0
z
(
x
)
=
0
.
{\displaystyle a_{2}z''(x)+(a_{1}-a_{2})z'(x)+a_{0}z(x)=0\ .}
Das zu dieser Differentialgleichung gehörige charakteristische Polynom lautet
χ
(
λ
)
=
a
2
λ
2
+
(
a
1
−
a
2
)
λ
+
a
0
{\displaystyle \chi (\lambda )=\ a_{2}\lambda ^{2}+(a_{1}-a_{2})\lambda +a_{0}}
und besitzt die Nullstellen
λ
1
,
2
=
a
2
−
a
1
2
a
2
±
(
a
2
−
a
1
)
2
4
a
2
2
−
a
0
a
2
.
{\displaystyle \lambda _{1,2}={\frac {a_{2}-a_{1}}{2a_{2}}}\pm {\sqrt {{\frac {(a_{2}-a_{1})^{2}}{4a_{2}^{2}}}-{\frac {a_{0}}{a_{2}}}}}\ .}
Fall 1:
λ
1
≠
λ
2
{\displaystyle \lambda _{1}\neq \lambda _{2}}
Dann ist
{
e
λ
1
z
,
e
λ
2
z
}
{\displaystyle \{e^{\lambda _{1}z},e^{\lambda _{2}z}\}}
{
x
λ
1
,
x
λ
2
}
{\displaystyle \{x^{\lambda _{1}},x^{\lambda _{2}}\}}
Fall 2:
λ
1
=
λ
2
{\displaystyle \ \lambda _{1}=\lambda _{2}}
Dann ist
λ
:=
a
2
−
a
1
2
a
2
{\displaystyle \lambda :={\frac {a_{2}-a_{1}}{2a_{2}}}}
{
e
λ
z
,
z
e
λ
z
}
{\displaystyle \ \{e^{\lambda z},ze^{\lambda z}\}}
{
x
λ
,
x
λ
ln
x
}
{\displaystyle \ \{x^{\lambda },x^{\lambda }\ln x\}}
Fall 3:
λ
1
,
λ
2
{\displaystyle \ \lambda _{1},\lambda _{2}}
Dann sind
λ
1
,
λ
2
{\displaystyle \ \lambda _{1},\lambda _{2}}
{
e
λ
1
z
,
e
λ
2
z
}
{\displaystyle \ \{e^{\lambda _{1}z},e^{\lambda _{2}z}\}}
λ
1
=
μ
+
i
ν
{\displaystyle \ \lambda _{1}=\mu +i\nu }
μ
,
ν
∈
R
{\displaystyle \mu ,\nu \in \mathbb {R} }
{
e
μ
z
sin
(
ν
z
)
,
e
μ
z
cos
(
ν
z
)
}
{\displaystyle \ \{e^{\mu z}\sin(\nu z),e^{\mu z}\cos(\nu z)\}}
{
x
μ
sin
(
ν
ln
x
)
,
x
μ
cos
(
ν
ln
x
)
}
{\displaystyle \ \{x^{\mu }\sin(\nu \ln x),x^{\mu }\cos(\nu \ln x)\}}
◻
{\displaystyle \Box }
)\ .\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23e119e239011b2711ee118e4c54e32bb279b7e7)
![{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}a_{k}c^{k}\left(\left[\prod _{j=0}^{k-1}\left({\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}-j\right)\right]z\right)(x)=0\ .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/511fab8454384a7bce2c6209d67bb74dd45a4a0a)
![{\displaystyle \left[\prod _{j=0}^{-1}\left({\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}-j\right)\right]z=z\ ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d619c881c11df8c63e9b8243f3a187c8882aefe3)
![{\displaystyle \left[\prod _{j=0}^{0}\left({\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}-j\right)\right]z=\left({\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}-0\right)z=z'\ ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b0cd43709defaf2512b1b703d30b03db6b1730c)
![{\displaystyle \left[\prod _{j=0}^{1}\left({\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}-j\right)\right]z=\left({\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}-0\right)\left({\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}-1\right)z=\left({\frac {\rm {d^{2}}}{{\rm {d}}x^{2}}}-{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}\right)z=z''-z'\ ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/034228fbe23f1dcf8a2cb63d2f2fb34f2d538359)
![{\displaystyle \left[\prod _{j=0}^{2}\left({\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}-j\right)\right]z=\left({\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}-0\right)\left({\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}-1\right)\left({\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}-2\right)z=\left({\frac {\rm {d^{3}}}{{\rm {d}}x^{3}}}-3{\frac {\rm {d^{2}}}{{\rm {d}}x^{2}}}+2{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}\right)z=z'''-3z''+2z'\ .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/069495c4ab6c049d06ba964ba0eaa7a50304936a)
![{\displaystyle c^{k}\left(\left[\prod _{j=0}^{k-1}\left({\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}-j\right)\right]z\right)(\ln(cx+d))=(cx+d)^{k}y^{(k)}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/200b5517f2019285ed4c048f1ecf903645a5b7f7)
![{\displaystyle (cx+d)^{k_{0}}y^{(k_{0}+1)}(x)+ck_{0}(cx+d)^{k_{0}-1}y^{(k_{0})}(x)={\frac {c^{k_{0}+1}}{cx+d}}\left({\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}\left[\prod _{j=0}^{k_{0}-1}\left({\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}-j\right)\right]z\right)(\ln(cx+d))\ .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba355907b3a201ec26d2fb5ab1447eae9dd634b1)
![{\displaystyle {\begin{array}{lll}(cx+d)^{k_{0}+1}y^{(k_{0}+1)}(x)&=&c^{k_{0}+1}\left({\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}\left[\prod _{j=0}^{k_{0}-1}\left({\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}-j\right)\right]z\right)(\ln(cx+d))-ck_{0}(cx+d)^{k_{0}}y^{(k_{0})}(x)\\&=&c^{k_{0}+1}\left({\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}\left[\prod _{j=0}^{k_{0}-1}\left({\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}-j\right)\right]z\right)(\ln(cx+d))\\&&\quad -c^{k_{0}+1}k_{0}\left(\left[\prod _{j=0}^{k_{0}-1}\left({\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}-j\right)\right]z\right)(\ln(cx+d))\\&=&c^{k_{0}+1}\left(\left[\prod _{j=0}^{k_{0}}\left({\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}-j\right)\right]z\right)(\ln(cx+d))\ .\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc1981dd15fb49a36f99a96d34cd701b97d4d2ad)
![{\displaystyle \{y_{j,k}(x)=(cx+d)^{\lambda _{j}}[\ln(cx+d)]^{k}\ |\ j=1,\ldots ,M\ ,\ k=0,\ldots ,R_{j}-1\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/822649e4c3c847d87112aa740bd4f0a6c47b29fc)
