Artinscher Modul

Begriff der Algebra

Der Begriff artinscher Ring oder artinscher Modul (nach Emil Artin) beschreibt im mathematischen Teilgebiet der Algebra eine gewisse Endlichkeitsbedingung. Der Begriff weist einige Analogien zum Begriff des noetherschen Rings auf, die beiden Begriffe sind aber nicht auf ganz einfache Weise miteinander verbunden. Zum Beispiel ist jeder artinsche Ring noethersch, aber nicht umgekehrt.

Artinscher Modul Bearbeiten

Definition Bearbeiten

Ein Modul   über einem Ring   mit   heißt artinsch, wenn er eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt:

  • Jede nichtleere Menge von  -Untermoduln von   hat ein minimales Element bezüglich Inklusion.
  • Jede absteigende Folge von Untermoduln wird stationär, d. h. in einer Kette   gibt es einen Index  , so dass für alle   gilt:  .
  • Für jede Familie   von Untermoduln existiert eine endliche Teilmenge   von  , so dass gilt:  

Beispiele Bearbeiten

  • Jeder endliche Modul ist artinsch.
  • Jeder endlich erzeugte Modul über einem artinschen Ring ist artinsch.
  •   ist kein artinscher  -Modul.
  • Eine endliche direkte Summe artinscher Moduln ist artinsch.
  • Ist   eine (assoziative) Algebra über einem Körper  , und hat ein  -Modul   endliche  -Dimension, so ist   artinsch. Beispielsweise sind die Ringe   und   artinsch.
  • Die Prüfergruppe   als  -Modul ist artinsch, jedoch nicht  .

Eigenschaften Bearbeiten

  • Jeder injektive Endomorphismus ist ein Automorphismus.
  • Für eine exakte Sequenz von Moduln   sind äquivalent:
    1.   ist artinsch,
    2.   sind artinsch.
  • Für einen (Links-)Modul   über einem (links-)artinschen Ring   sind äquivalent:
    • M ist (links-)artinsch,
    • M ist (links-)noethersch,
    • M ist endlich erzeugt.

Artinscher Ring Bearbeiten

Definition Bearbeiten

Ein Ring   heißt linksartinsch, wenn   artinsch als  -Linksmodul ist.

Ein Ring   heißt rechtsartinsch, wenn   artinsch als  -Rechtsmodul ist.

Ein Ring   heißt artinsch, wenn   links- und rechtsartinsch ist.

(Man beachte: Die Untermoduln sind dann gerade die (Links- / Rechts-)Ideale.)

Beispiele Bearbeiten

  • Körper sind artinsch.
  • Sei   ein Körper,   eine endlich erzeugte  -Algebra (d. h.   für ein geeignetes Ideal  ), dann ist   ein artinscher Ring genau dann, wenn  .
  •   ist rechtsnoethersch, aber weder linksartinsch noch linksnoethersch.
  •   ist rechtsartinsch, aber nicht linksartinsch.

Eigenschaften Bearbeiten

  • Ein artinscher Ring ist noethersch.
  • Jeder injektive Endomorphismus ist ein Automorphismus.[1]
  • Genauer ist ein kommutativer Ring mit Einselement genau dann artinsch, wenn er noethersch und nulldimensional ist (also wenn jedes Primideal ein maximales Ideal ist).
  • Ein artinscher Integritätsring ist bereits ein Körper. Es gilt sogar folgende stärkere Aussage: Ein Integritätsring, der die absteigende Kettenbedingung für Hauptideale erfüllt, ist ein Körper.
  • Ist in einem Ring das Nullideal Produkt maximaler Ideale, so ist der Ring genau dann artinsch, wenn er noethersch ist.
  • In einem artinschen Ring existieren nur endlich viele maximale Ideale (und damit nur endlich viele Primideale).
  • In einem artinschen Ring ist das Nilradikal nilpotent.
  • Jeder artinsche Ring ist endliches Produkt artinscher lokaler Ringe.

Literatur Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Mario Sperl: Jeder surjektive Endomorphismus eines noetherschen Rings ist bijektiv. Schierling 1. März 2022, S. 4.